\documentclass[10pt,mp]{td}

\begin{document}

\colle{22}{28 mars au 1\up{er} avril} 

\section*{EDL (fin)}

\begin{programme}

\begin{cadre}
%
%\souscadre{a) Généralités}
%
%Équation différentielle linéaire : $$x'= a(t)(x)+b(t)$$
%où $a$ est une application continue de $I$ dans ${\cal L}(E)$ et
%$b$ une application continue de $I$ dans $E$.
%
%&Forme matricielle : systèmes différentiels linéaires $X'=A'(t)X+B(t)$.
%
%Équation différentielle homogène associée à une équation différentielle
%linéaire.
%
%Principe de superposition.\\
%
%
%
%Problème de Cauchy.&Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy.\\
%
%Représentation d'une équation scalaire linéaire d'ordre $n$ par un système différentiel linéaire. &\\
%
%Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire d'ordre $n$.&\\


\souscadre{b) Solutions d'une équation différentielle linéaire}
%
%Théorème de Cauchy linéaire : existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy.&Démonstration non exigible.
%
%$\dbf$ I : méthode d'Euler pour la recherche d'une solution approchée.\\
%
%Cas des équations scalaires d'ordre $n$.&\\
%
%Cas des équations homogènes : l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de ${\cal F}(I,E)$. Pour $t_0$ dans $I$, l'application
%$x\mapsto x(t_0)$
%est un isomorphisme de cet espace sur $E$.&\\
%Dimension de l'espace des solutions. Cas des équations scalaires homogènes d'ordre $n$.&\\
%
%Structure de l'ensemble des solutions d'une équation avec second membre.&\\

Exemples d'équations différentielles linéaires scalaires d'ordre $1$ ou $2$ non résolues
:

$a(x)y'+b(x)y=c(x), \quad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x)$.&
Les étudiants doivent savoir exploiter la recherche de solutions développables en série entière.
\\


%\souscadre{c) Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice}
%
%Exponentielle d'un endomorphisme d'un espace normé de dimension finie, d'une matrice réelle ou complexe.&Notations $\exp(a), \e^a, \exp(A), \e^{A}.$
%
%$\dbf$ I : calcul de l'exponentielle d'une matrice.\\
%
%Continuité de l'exponentielle.&\\
%
%Exponentielle de la somme de deux endomorphismes qui commutent.&Démonstration non exigible.\\
%
%Dérivation, si $a$ est un endomorphisme
%d'un espace normé de dimension finie, de l'application
%$t\mapsto \exp(ta).$&Dérivation de $t\mapsto \exp(tA)$ si $A$ est une matrice carrée réelle ou complexe.\\

%\souscadre{d) Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants}
%
%Résolution du problème de Cauchy $$x'=a\left(x\right),\quad x(t_0)=x_0$$
%si $a$ est un endomorphisme de $E$ et $x_0$ un élément de~$E$.
%&Traduction matricielle.
%
%Pour les calculs explicites, on se borne aux deux cas suivants : $A$ diagonalisable ou $n\leqslant 3$.\\

%\souscadre{e) Méthode de variation des constantes}
%
%Méthode de variation des constantes pour les systèmes différentiels linéaires à coefficients continus.&
%Dans les exercices pratiques, on se limite au cas $n=2$.\\
%Cas particulier des systèmes différentiels à coefficients constants.&Dans les exercices pratiques, on se limite au cas $n=2$.\\
\souscadre{f) Équations différentielles scalaires du second ordre}

Adaptation de la méthode de variation des constantes aux équations scalaires du second ordre.&\\

Wronskien de deux solutions d'une équation scalaire homogène d'ordre
$2$.&Définition et calcul. Cas d'une équation $x''+q(t)x=0$.\\
\end{cadre}
\end{programme}

\section*{Révisions d'arithmétique sur $\Z$ (MPSI)}

Voir programme page suivante.

\section*{Groupes monogènes, $\nicefrac{\Z}{n\Z}$}

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{Groupes et sous-groupes}

Sous-groupe engendré par une partie.&\\

\souscadre{Groupes monogènes et cycliques}

Groupe $(\Z/n\Z,+)$. Générateurs de $\Z/n\Z$.&\\

Groupe monogène, groupe cyclique.&Groupe des racines $n$-ièmes de l'unité.\\

Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\Z,+)$.
Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe
à $(\Z/n\Z,+)$.&\\

\souscadre{Ordre d'un élément dans un groupe}

Élément d'ordre fini d'un groupe, ordre d'un tel élément.&
Si $x$ est d'ordre fini,
l'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par
$x$.\\

Si $x$ est d'ordre fini $d$ et si $e$ désigne le neutre de $G$, alors, pour $n$ dans $\Z$, on a $x^n=e\Longleftrightarrow d|n$.&\\

L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise le cardinal du groupe.&La démonstration n'est exigible que pour $G$ commutatif.\\

\souscadre{L'anneau $\Z/n\Z$}

Anneau $\Z/n\Z$.&\\

Inversibles de $\Z/n\Z$.&L'anneau $\Z/n\Z$
est un corps si et seulement si $n$ est premier.\\


Théorème chinois :
si $m$ et $n$ sont deux entiers premiers entre eux, isomorphisme
naturel de $\Z/mn\Z$ sur $\Z/m\Z\times \Z/n\Z.$
&Application aux systèmes de congruences.\\

Indicatrice d'Euler $\varphi$. Calcul de $\varphi(n)$
à l'aide de la décomposition de $n$ en facteurs premiers.&$\dbf$ I : calcul de $\varphi(n)$ à l'aide d'une méthode de crible.\\

Théorème d'Euler.
&Lien avec le petit théorème de Fermat étudié en première année.

$\dbf$ I : codage RSA.\\
\end{cadre}
\end{programme}

\questionDeCours


\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Générateurs du groupe $\pare{\nicefrac\Z{n\Z},+}$, inversibles de l'anneau $\pare{\nicefrac\Z{n\Z},+,\times}$.
\item Si $(G, *)$ est un groupe fini de neutre $e$, tous ses éléments sont d'ordre fini, leur ordre divise $|G|$ (cas commutatif) et pour tout $a\in G$, $a^{|G|}=e$.
\item Si $p$ est premier et $k\in\N^*$, calcul de $\varphi\pare{p^k}$, d'où une expression de $\varphi(n)$ à l'aide de ses diviseurs premiers.
Théorème d'Euler, d'où le petit théorème de Fermat.
\item \textbf{Théorème de Lagrange}

Soit $(G,*)$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la relation définie par $x\mathcal R y\Longleftrightarrow x^{-1}*y\in H$ est une relation d'équivalence sur $G$.
\item Vérifier que les classes d'équivalence ont toutes le même cardinal.
\item Démontrer le théorème de Lagrange : $\card H$ divise $\card G$.
\item En déduire que l'ordre de tout élément de $G$ divise l'ordre de $G$.
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 31} : 
\begin{enumerate}

\item
Déterminer une primitive de $x\longmapsto \cos^4x$.
\item
R\'{e}soudre sur $\mathbb{R}$ l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle: $y''+y=\cos^3 x$ en utilisant la m\'{e}thode de variation des constantes.

\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 32} :
Soit l'équation différentielle: $x(x-1)y''+3xy'+y=0$.
\begin{enumerate}
\item Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière sur un intervalle $\left]-r,r \right[$ de $\mathbb{R}$, avec $r>0$.\\ Déterminer la somme des séries entières obtenues.

\item 
Est-ce que toutes les solutions de $x(x-1)y''+3xy'+y=0$ sur $\left]0,1 \right[$ sont les restrictions d'une fonction développable en série entière sur $\left]-1,1 \right[$? 

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 66} : On note $p$  un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère dans $\mathbb Z$ la relation d'équivalence $\cal R$ définie par:
\ \,$x\,{\cal R}\,y\stackrel{\hbox{\scriptsize déf.}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in\mathbb Z$ tel que $x-y=kp$.

\smallskip

On note $\mathbb Z / p\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation ${\cal R}$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la classe d'équivalence de 0? Quelle est celle de $p$? 
\item Donner soigneusement la définition de l'addition usuelle et de la multiplication usuelle dans $\mathbb Z / p\mathbb Z$.\\
On justifiera que ces définitions sont cohérentes.

\item On admet que, muni de ces opérations, $\mathbb Z / p\mathbb Z$ est un anneau.

Démontrer que $\mathbb Z / p\mathbb Z$ est un corps si et seulement si $p$ est premier. 
\end{enumerate}
\vspace*{-.2cm}

\item \textbf{CCINP 42} :
On considère les deux équations différentielles suivantes :
\[   2xy'-3y=0 \eqno(H)\]
\[  2xy'-3y=\sqrt{x} \eqno(E)\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(H)$ sur l'intervalle $\left]  0,+\infty\right[ $.
\item Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $\left]  0,+\infty\right[   $.\item L'équation $(E)$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $\left[ 0,+\infty\right[ $?
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 86} : Petit théorème de Fermat
\begin{enumerate}
\item

Soit $(a,b,p)\in{\mathbb{Z}^{3}}$.
Prouver que : si $p \wedge a = 1 $ et $p\wedge b=1$, alors $p\wedge (ab)=1$.
\item
Soit $p$ un nombre premier.
\begin{enumerate}
\vspace*{-.2cm}
\item 
 Prouver que $\forall k \in{\llbracket 1,p-1\rrbracket}$, $p$ divise $\dbinom{p}{k}k!$\:\:  puis en déduire que $p$ divise $\dbinom{p}{k}$.



\item 
Prouver que:  $\forall n \in{\mathbb{N}}$,\: $n^{p}\equiv n \:\mod p $.\\
\textbf{Indication}: procéder par récurrence. 
\item 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $  p \:\text{ne divise pas }\: n \Longrightarrow\: n^{p-1}\equiv 1 \mod p$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 94} : 
 \begin{enumerate}
 \item \'Enoncer le théorème de Bézout dans $\Z$.
 \item
 Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux.
 Soit $c\in \N$.
 Prouver que:  $\left( a|c\:\text{et} \:b|c\right)\Longleftrightarrow ab|c$.
 \item 
 On considère le système $(S)$: 
 $\left\{\begin{array}{lccl}
 x&\equiv&6& \text{mod}(17)\\
 x&\equiv&4&\text{mod}(15)
 \end{array}\right.$ dans lequel l'inconnue $x$ appartient à $\Z$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer une solution particulière $x_0$ de $(S)$ dans $\Z$.
\item
\textit{Déduire des questions précédentes} la résolution dans  $\Z$ du système $(S)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
%\pagebreak
\end{enumerate}
\section*{Programme de MPSI}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Divisibilité et division euclidienne}
Divisibilité dans $\Z$, diviseurs, multiples. & Caractérisation des couples d'entiers associés.\\
Théorème de la division euclidienne. &\\

\souscadre{b) PGCD et algorithme d'Euclide}
PGCD de deux entiers naturels dont l'un au moins est non nul. & Le PGCD de $a$ et $b$ est défini comme étant le plus grand élément (pour l'ordre naturel dans $\N$) de l'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$.

Notation $a\wedge b$.\\
Algorithme d'Euclide.&L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ est égal à l'ensemble des diviseurs de $a\wedge b$.

$a\wedge b$ est le plus grand élément (au sens de la divisibilité) de l'ensemble des diviseurs communs à \hbox{$a$ et $b$.}\\

Extension au cas de deux entiers relatifs.&\\
Relation de Bézout. & L'algorithme d'Euclide fournit une relation de Bézout.

$\dbf$ I : algorithme d'Euclide étendu.

 L'étude des idéaux de $\Z$ est hors programme.\\


PPCM. & Notation $a \vee b$.

Lien avec le PGCD.\\


\souscadre{c) Entiers premiers entre eux}
Couple d'entiers premiers entre eux. &\\
Théorème de Bézout. & Forme irréductible d'un rationnel.\\
Lemme de Gau\ss. &\\
PGCD d'un nombre fini d'entiers, relation de Bézout. Entiers premiers entre eux dans leur ensemble, premiers entre eux deux à deux. &\\



\souscadre{d) Nombres premiers}
Nombre premier. &$\dbf$ I : crible d'Eratosthène.\\
L'ensemble des nombres premiers est infini. &\\

Existence et unicité de la décomposition d'un entier naturel non nul en produit de nombres premiers. &\\
Pour $p$ premier, valuation $p$-adique. & Notation $v_p (n)$.

  Caractérisation de la divisibilité en termes de valuations $p$-adiques.

  Expressions du PGCD et du PPCM à l'aide des valuations $p$-adiques.\\



\souscadre{e) Congruences}
Relation de congruence modulo un entier sur $\Z$. & Notation $a \equiv b \ [n]$.\\
Opérations sur les congruences : somme, produit. & Les anneaux $\Z / n \Z$ sont hors programme.\\
Petit théorème de Fermat. &\\
\end{cadre}
\end{document} 
