\documentclass[10pt,mp]{td}

\begin{document}

\colle{22}{22 au 26 mars} 

\section*{Variables aléatoires}
Suite et fin du chapitre.

\begin{programme}
\begin{cadre}

\souscadre{h) Variance, écart type et covariance}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.&\\

\souscadre{i) Loi faible des grands nombres}

Si $(X_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, de même loi et admettant un moment d'ordre $2$, alors, si $\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n
 X_k}$ et $m=\mathrm{E}(X_1)$, on a,
$$P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m\right|\geqslant \varepsilon\right)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow 0.$$&
 Les étudiants doivent savoir retrouver, pour $\varepsilon >0$, l'inégalité :
$$P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m\right|\geqslant \varepsilon\right)\leqslant \frac{\sigma^2}
{n\varepsilon^2}$$ où $\sigma$
est la variance commune des $X_k$.

$\dbf$ I : simulation d'une suite de tirages.\\

\souscadre{j) Fonctions génératrices}

Fonction génératrice de la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ :
$$G_X(t)=\mathrm{E}(t^X)=\sum_{k=0}^{+\infty} P(X=k)\;t^k.$$
&La série entière définissant $G_X$ est de rayon supérieur ou égal à $1$ et converge normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $1$. Continuité de $G_X$.\\


Détermination de la loi de $X$ par $G_X$. Utilisation de $G_X$
pour calculer les moments de $X$.
&\\

La variable aléatoire $X$ est d'espérance finie si et seulement si
$G_X$ est dérivable en $1$ ; dans ce cas $\mathrm{E}(X)={G_X}'(1).$
La variable aléatoire $X$ admet un second moment si et seulement si $G_X$
est deux fois dérivable en $1$.
&Les étudiants doivent savoir retrouver l'expression de la variance de $X$ à l'aide de
${G_X}'(1)$ et ${G_X}''(1)$.

Les étudiants doivent savoir calculer la fonction génératrice d'une variable aléatoire de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson.
\\

Fonction génératrice d'une somme finie de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$.&\\
\end{cadre}
\end{programme}

\section*{Fonctions vectorielles}

\begin{programme}
\tb{Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\:\R$, à valeurs dans un espace normé de dimension finie $E$.}
\begin{cadre}
\souscadre{a) Dérivabilité en un point}

Dérivabilité en un point.& Formes équivalentes : taux d'accroissement, développement limité à l'ordre $1$.

Interprétation cinématique.

$\dbf$ PC : vitesse instantanée.

Traduction par les coordonnées dans une base de $E$.\\

Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction en un point.&\\



\souscadre{b) Opérations sur les fonctions dérivables}

Combinaison linéaire de fonctions dérivables.&\\

Dérivabilité et dérivée de $L\circ f$, où $L$ est linéaire.&\\

Dérivabilité et dérivée de $B(f,g)$, où $B$ est bilinéaire.&\\
Cas du produit scalaire.&$\dbf$ PC : dérivée de la densité volumique de l'énergie électromagnétique.\\

Dérivabilité et dérivée de $f\circ\varphi$ où $\varphi$
est une fonction réelle de variable réelle et $f$ une fonction vectorielle.& \\


Applications de classe $\mathcal{C}^k$. Opérations sur les applications de classe $\mathcal{C}^k$.
&$\dbf$ PC et SI : vecteur accélération.\\
\souscadre{c) Intégration sur un segment}

Intégrale d'une fonction $f$ continue par morceaux sur un segment de $\R$, à valeurs dans $E$.
&Définie par les intégrales des coordonnées dans une base. Notations $\displaystyle \int_{[a,b]}f$,
$\displaystyle \int_{a}^bf$, $\displaystyle\int_a^bf(t)\d t$.

$\dbf$ PC et SI : intégration d'un champ de vecteurs en mécanique et électromagnétisme.\\

Linéarité de l'intégrale. Relation de Chasles.

Inégalité $\norm{\displaystyle\int_a^b f} \leqslant \int_a^b \left\|f\right\|.$&\\

Sommes de Riemann associées à une subdivision régulière.
&Extension de l'énoncé relatif aux fonctions numériques étudié en MPSI.\\




\souscadre{e) Intégrale fonction de sa borne supérieure}

Dérivation de $\displaystyle x \mapsto \int_a^x f(t)\, \d t$ pour $f$ continue.
& Ce paragraphe fournit l'occasion de revoir les résultats correspondants pour les fonctions numériques et les techniques de calcul de primitives.
\\Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe $\mathcal{C}^1$.&\\

\souscadre{f) Formules de Taylor}
Formule de Taylor avec reste intégral. &\\
Inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ pour une fonction de classe $\mathcal{C}^{n}$.&\\
Formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ pour une fonction de classe $\mathcal{C}^{n}$.& Les étudiants doivent connaître la différence de nature entre la formule de Taylor-Young (locale) et les formules de Taylor globales (reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange).\\
\end{cadre}
\end{programme}

Adaptation au cas vectoriel de l'étude des séries, des suites de fonctions, des séries de fonctions. 

C'est l'occasion de réviser ces chapitres vus il y a quelques mois dans le cas numérique.

\section*{Révisions des EDL de MPSI}
Voir programme page suivante.

\section*{EDL}

\begin{programme}
\tb{Dans ce chapitre, $I$ est un intervalle de $\:\R$, $E$ un espace normé de dimension finie.}

\begin{cadre}

\souscadre{a) Généralités}

Équation différentielle linéaire : $$x'= a(t)(x)+b(t)$$
où $a$ est une application continue de $I$ dans ${\cal L}(E)$ et
$b$ une application continue de $I$ dans $E$.

&Forme matricielle : systèmes différentiels linéaires $X'=A'(t)X+B(t)$.

Équation différentielle homogène associée à une équation différentielle
linéaire.

Principe de superposition.\\



Problème de Cauchy.&Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy.\\

Représentation d'une équation scalaire linéaire d'ordre $n$ par un système différentiel linéaire. &\\

Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire d'ordre $n$.&\\


\souscadre{b) Solutions d'une équation différentielle linéaire}

Théorème de Cauchy linéaire : existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy.&Démonstration non exigible.

$\dbf$ I : méthode d'Euler pour la recherche d'une solution approchée.\\

Cas des équations scalaires d'ordre $n$.&\\

Cas des équations homogènes : l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de ${\cal F}(I,E)$. Pour $t_0$ dans $I$, l'application
$x\mapsto x(t_0)$
est un isomorphisme de cet espace sur $E$.&\\
Dimension de l'espace des solutions. Cas des équations scalaires homogènes d'ordre $n$.&\\

Structure de l'ensemble des solutions d'une équation avec second membre.&\\

\sout{Exemples d'équations différentielles linéaires scalaires d'ordre $1$ ou $2$ non résolues
: }

\sout{$a(x)y'+b(x)y=c(x), \quad a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x)$.}&
Les étudiants doivent savoir exploiter la recherche de solutions développables en série entière.
\\


\souscadre{c) Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice}

Exponentielle d'un endomorphisme d'un espace normé de dimension finie, d'une matrice réelle ou complexe.&Notations $\exp(a), \e^a, \exp(A), \e^{A}.$

$\dbf$ I : calcul de l'exponentielle d'une matrice.\\

Continuité de l'exponentielle.&\\

Exponentielle de la somme de deux endomorphismes qui commutent.&Démonstration non exigible.\\

Dérivation, si $a$ est un endomorphisme
d'un espace normé de dimension finie, de l'application
$t\mapsto \exp(ta).$&Dérivation de $t\mapsto \exp(tA)$ si $A$ est une matrice carrée réelle ou complexe.\\

\souscadre{d) Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants}

Résolution du problème de Cauchy $$x'=a\left(x\right),\quad x(t_0)=x_0$$
si $a$ est un endomorphisme de $E$ et $x_0$ un élément de~$E$.
&Traduction matricielle.

Pour les calculs explicites, on se borne aux deux cas suivants : $A$ diagonalisable ou $n\leqslant 3$.\\

\souscadre{e) Méthode de variation des constantes}

Méthode de variation des constantes pour les systèmes différentiels linéaires à coefficients continus.&
Dans les exercices pratiques, on se limite au cas $n=2$.\\
Cas particulier des systèmes différentiels à coefficients constants.&Dans les exercices pratiques, on se limite au cas $n=2$.\\

\end{cadre}
\end{programme}

\attention Pas de méthode de résolution spécifique aux équations d'ordre 2 cette semaine. 
\smallskip

\textbf{Semaine prochaine} : Fin EDL. Groupes monogènes, arithmétique, $\Z/n\Z$.

\questionDeCours


\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.
\item Pour chaque loi au programme (Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Poisson) : calcul de la fonction génératrice, on retrouve alors l'espérance et la variance.

\item Inégalités de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands nombres.
\item Dérivation de $u\circ f$ si $u$ est linéaire, de $B(f, g)$ si $B$ est bilinéaire.
\item Continuité de $\exp$ sur $\mathcal M_n(\K)$, dérivation de $t\mapsto\exp(tA)$.
\item (Révision MPSI) Espace (ou système fondamental) des solutions d'une équation différentielle scalaire homogène d'ordre 2 à c\oe{}fficients constants (énoncé seulement). 

Forme d'une solution particulière lorsque le second membre s'écrit $P(t)\e^{\lambda t}$ où $P$ est un polynôme (énoncé seulement).
\item Expliquer la transformation d'une équation différentielle scalaire d'ordre $n$ en un système différentiel d'ordre 1 de dimension $n$.
\item Expression des solutions d'un système différentiel à c\oe{}fficients constants homogène $X'=AX$ sous forme exponentielle.

\item \textbf{CCINP 32, 74, 75, 96 (2022), 97, 99, 100, 110}. (Énoncés page suivante)
\end{enumerate}
\pagebreak

\section*{Extrait du programme de MPSI}

\begin{cadre}
\souscadre{\'Equations différentielles linéaires du premier ordre}

Notion d'équation différentielle linéaire du premier ordre :
\[
y' + a(x) y = b(x)
\]
où $a$ et $b$ sont des fonctions continues définies sur un intervalle $I$ de $\R$ à valeurs réelles ou complexes.
&\'Equation homogène associée.


Cas particulier où la fonction $a$ est constante.\\

Résolution d'une équation homogène. & \\

Forme des solutions : somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène. & $\dbf$ PC : régime libre, régime forcé ; régime transitoire, régime établi.\\

Principe de superposition. & \\

Méthode de la variation de la constante. & \\

Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy. & $\dbf$ PC et SI : modélisation de circuits électriques RC, RL ou de systèmes mécaniques linéaires.\\

% Résolution approchée par la méthode d'Euler.&\\

\souscadre{\'Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants}

Notion d'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :
\[
y''+ay'+by=f(x)
\]
où $a$ et $b$ sont des scalaires et $f$ est une application continue à valeurs dans $\R$ ou $\C$.
&\'Equation homogène associée.\\

Résolution de l'équation homogène.
& Si $a$ et $b$ sont réels, description des solutions réelles.\\

Forme des solutions : somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène.
&Les étudiants doivent savoir déterminer une solution particulière dans le cas d'un second membre de la forme \hbox{$x \mapsto A \e^{\lambda x}$} avec $(A,\lambda)\in\C^2$, $x \mapsto B\cos(\omega x)$ et \hbox{$x \mapsto B\sin(\omega x)$} avec $(B,\omega)\in\R^2$.

$\dbf$ PC : régime libre, régime forcé ; régime transitoire, régime établi.\\

Principe de superposition.&\\

Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy.&
La démonstration de ce résultat est hors programme.

$\dbf$ PC et SI : modélisation des circuits électriques LC, RLC et de systèmes mécaniques linéaires.\\
\end{cadre}
%\pagebreak

\section*{Exercices CCINP}
\small

\begin{enumerate}
\item \textbf{CCINP 32} : Soit l'équation différentielle: $x(x-1)y''+3xy'+y=0$.
\begin{enumerate}
\item Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière sur un intervalle $\left]-r,r \right[$ de $\mathbb{R}$, avec $r>0$. Déterminer la somme des séries entières obtenues.

\item 
Est-ce que toutes les solutions de $x(x-1)y''+3xy'+y=0$ sur $\left]0;1 \right[$ sont les restrictions d'une fonction développable en série entière sur $\left]-1,1 \right[$? 

\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 74} : 
\begin{enumerate}
\item On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
2 & 0 & 1
\end{pmatrix} $.
	\begin{enumerate}
	\item Justifier sans calcul que $A$ est diagonalisable.
	\item Déterminer les valeurs propres de $A$ puis une base de vecteurs propres associés.
	
	\end{enumerate}
\item On considère le système différentiel $\left\{\begin{array}{l}
 x'=x+2z\\ 
 y'=y \\ 
 z'=2x+z  
\end{array}\right.$ , $x,y,z$ désignant trois fonctions de la variable $t$, dérivables sur $\mathbb{R}$.
En utilisant la question 1. et en le justifiant, résoudre ce système. 
\end{enumerate}
\medskip\pagebreak

\item \textbf{CCINP 75} : 
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
-1 & -4 \\ 
1 & 3
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

\item On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ canoniquement associ\'{e} \`{a} $A$. \\Trouver une base $\left( v_{1},v_{2}\right)$ de $\mathbb{R}^{2}$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme $\begin{pmatrix}
a & b \\ 
0 & c
\end{pmatrix}$.\\
On donnera explicitement les valeurs de $a$, $b$ et $c$. 

\item En déduire la résolution du syst\`{e}me différentiel $\left\{
\begin{array}{l}
x^{\prime }=-x-4y \\ 
y^{\prime }=x+3y
\end{array}
\right.$.
\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 96 (2022)} : 
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, de loi de probabilité donnée par : $\forall n \in \mathbb{N}, P(X=n)=p_{n} .$ La fonction génératrice de $X$ est notée $G_{X}$ et elle est définie par $G_{X}(t)=E\left[t^{X}\right]=\ds\sum_{n=0}^{+\infty} p_{n} t^{n} .$
\begin{enumerate}
\item Prouver que l'intervalle $]-1,1\left[\right.$ est inclus dans l'ensemble de définition de $G_{X}$.
\item Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$.

On pose $S=X_{1}+X_{2}$.

Démontrer que $\forall t \in]-1,1\left[, G_{S}(t)=G_{X_{1}}(t) G_{X_{2}}(t):\right.$
\begin{enumerate}
\item en utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières.
\item en utilisant uniquement la définition de la fonction génératrice par $G_{X}(t)=E\left[t^{X}\right]$.
\end{enumerate}
Remarque : on admetra, pour la question suivante, que ce résultat est généralisable à $n$ variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$.
\item Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée $2 .$ Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On effectue $n$ tirages successifs, avec remise, d'une boule dans ce sac.

On note $S_{n}$ la somme des numéros tirés.

Soit $t \in]-1,1[.$
Déterminer $G_{S_{n}}(t)$ puis en déduire la loi de $S_{n}$.
\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 97} :
 Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}^2$ dont la loi est donnée par
\[\forall (j,k)\in {\mathbb{N}^2},\ P\left( (X,Y)=(j,k)\right) =\dfrac{(j+k)\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{j+k}}{\mathrm{e}\:j!\:k!}.\]
\begin{enumerate}

\item
Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.\\
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
\item
Prouver que $E\left[ 2^{X+Y}\right] $ existe et la calculer.
\end{enumerate}
\medskip
%\pagebreak

\item \textbf{CCINP 99} :
\begin{enumerate}
\item
Rappeler l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
\item
 Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment d'ordre 2. On pose $S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}Y_k$.
Prouver que: $\forall\:a\in \left] 0,+\infty\right[ $, $P\left( \left|\dfrac{S_n}{n}-E(Y_1)\right|\geqslant a\right) \leqslant\dfrac{V(Y_1)}{na^2}$.
\item \textbf{Application}:
On effectue des tirages successifs, avec remise, d'une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.\\
\`A partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95\% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre $0,35$ et $0,45$? \\
\textbf{Indication} : considérer la suite $(Y_i)$ de variables aléatoires de Bernoulli où $Y_i$ mesure l'issue du $i^{\text{ème}}$  tirage.

\end{enumerate}
\medskip
%\pagebreak

\item \textbf{CCINP 100} : Soit $\lambda \in{\left] 0,+\infty\right[ }$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$.

On suppose que $\forall n\in\mathbb{N}^\ast$, $P(X=n)=\dfrac{\lambda}{n(n+1)(n+2)} $.
\begin{enumerate}
\item Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $R$ définie par $R(x)=\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)}$.
\item
Calculer $\lambda$.
\item
Prouver que $X$ admet une espérance, puis la calculer.
\item
$X$ admet-elle une variance? Justifier.

\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 110} : Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé.

\begin{enumerate}
\item 
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur  $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.\\
On considère la série entière  $\displaystyle\sum t^nP(X=n)$ de variable réelle $t$.\\
On note $R_X$ son rayon de convergence.\\
\begin{enumerate}
\item 
Prouver que $R_X\geqslant 1$.\\
On pose  $G_X(t)=\displaystyle\sum\limits_ {n=0}^{+\infty}t^nP(X=n)$ et on   note $D_{G_X}$ l'ensemble de définition de $G_X$.\\
Justifier que   $\left[-1,1 \right] \subset D_{G_X}$.\\
 
Pour tout réel $t$ fixé de $\left[-1,1 \right]$, exprimer $G_X(t)$ sous forme d'une espérance. 
\item
Soit $k\in\mathbb{N}$.
Exprimer, en justifiant la réponse, $P(X=k)$ en fonction de  $G_X^{(k)}(0)$.

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
 On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.\\
 Déterminer $D_{G_X}$ et, pour tout $\:t\in D_{G_X}$, calculer $G_X(t)$.
 

 \item
 Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes  et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.\\
 Déterminer, en utilisant les questions précédentes, la loi de $X+Y$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip


\end{enumerate}

\end{document} 
