\documentclass[10pt,mp]{td}

\begin{document}

\colle{18}{28 février au 4 mars} 

\section*{Compacité}
Reprise pour exercices.

\section*{Connexité par arcs}

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{Parties connexes par arcs d'un espace vectoriel normé}
Chemin continu joignant deux points.& Relation d'équivalence associée sur une partie $A$ de $E$.

Les classes d'équivalence sont les composantes connexes par arcs.\\
Parties connexes par arcs.&Dans des cas simples, une figure convaincante vaut preuve de connexité par arcs.

Cas des parties convexes, des parties étoilées.\\



Les parties connexes par arcs de $\R$ sont les intervalles.&\\


Image continue d'une partie connexe par arcs.&
Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des valeurs intermédiaires.\\
\end{cadre}
\end{programme}

\section*{Espaces préhilbertiens réels (révisions de MPSI)}

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{a) Produit scalaire}
Produit scalaire.& Notations $\langle x , y \rangle$, $(x|y)$, $x \cdot y$.\\
Espace préhilbertien, espace euclidien.

Produit scalaire canonique sur $\R^n$,

produit scalaire $(f |g)=\int_a^b fg$ sur $\mathcal{C} \big( [ a , b ] , \R \big)$.\\



\souscadre{b) Norme associée à un produit scalaire}
Norme associée à un produit scalaire, distance. &\\
Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité. & Exemples : sommes finies, intégrales.\\
Inégalité triangulaire, cas d'égalité. &\\
Formule de polarisation :

$\quad 2 \big< x , y \big> = \| x+y \|^2 - \| x \|^2 - \| y \|^2$. &\\



\souscadre{c) Orthogonalité}
Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie. & Notation $X^\perp$.

  L'orthogonal d'une partie est un sous-espace.\\
Famille orthogonale, orthonormale (ou orthonormée). &\\
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. &\\
Théorème de Pythagore. &\\
Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt. &\\
Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie. & En dimension finie, dimension de l'orthogonal.\\


\souscadre{d) Bases orthonormales}
Existence de bases orthonormales dans un espace euclidien.
Théorème de la base orthonormale incomplète.&\\
Coordonnées dans une base orthonormale, expressions du produit scalaire et de la norme. & $\dbf$ PC et SI : mécanique et électricité.\\
Produit mixte dans un espace euclidien orienté. & Notation $\big[ x_1 , \ldots , x_n \big]$.

  Interprétation géométrique en termes de volume orienté, effet d'une application linéaire.\\



\souscadre{e) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie}
Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie. & En dimension finie, dimension de l'orthogonal.\\
Projection orthogonale. Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormale. &\\
Distance d'un vecteur à un sous-espace. Le projeté orthogonal de $x$ sur $V$ est l'unique élément de $V$ qui minimise la distance de $x$ à $V$. & Notation $d (x , V)$.\\



\souscadre{f) Hyperplans affines d'un espace euclidien}
Vecteur normal à un hyperplan affine d'un espace euclidien. Si l'espace est orienté, orientation d'un hyperplan par un vecteur normal. & Lignes de niveau de $M \mapsto \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n}$.\\
\'Equations d'un hyperplan affine dans un repère orthonormal. & Cas particuliers de $\R^2$ et $\R^3$.\\
Distance à un hyperplan affine défini par un point $A$ et un vecteur normal unitaire $\vec{n}$ : $\quad \big| \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} \big|$. & Cas particuliers de $\R^2$ et $\R^3$.\\
\end{cadre}
\end{programme}

\textbf{Semaines prochaines} : Endomorphismes des espaces préhilbertiens, variables aléatoires.
\bigskip


\questionDeCours
%\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Les compacts sont fermés bornés ; les fermés des compacts sont compacts.
\item Image continue d'un compact et théorème des bornes atteintes.
\item Théorème de Heine.
\item Un sous-espace de dimension finie est fermé.
\item Une suite d'un compact converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence. Cas des suites bornées en dimension finie.
\item Relation d'équivalence des chemins continus. Les convexes et parties étoilées sont connexes par arcs. 
\item Connexes par arcs de $\R$, image continue d'un connexe par arcs.
\item Inégalité de Cauchy-Schwarz pour une \textbf{forme bilinéaire symétrique positive}. Cas d'égalité pour un produit scalaire.
\item Lorsqu'il est de dimension finie, l'orthogonal d'un sous-espace est un supplémentaire. Expression du projeté en base orthonormale.
\item Distance à un sous-espace de dimension finie (atteinte en un vecteur unique et diverses expressions).
%\pagebreak
\item \textbf{CCINP 13 (nouvelle banque 2022)}
\begin{enumerate}
\item Rappeler, oralement, la définition, par les suites de vecteurs, d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé.
\item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie fermée de cet espace.
\item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie bornée de cet espace. Indication : On pourra raisonner par l'absurde.
\item On se place sur $E=\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $\|\cdot\|_{1}$ définie pour tout polynôme $P=a_{0}+a_{1} X+\ldots .+a_{n} X^{n}$ de $E$ par : $\|P\|_{1}=\ds\sum_{i=0}^{n}\left|a_{i}\right|$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $S(0,1)=\left\{P \in \mathbb{R}[X],\  \ \|P\|_{1}=1\right\}$ est une partie fermée et bornée de $E$.
\item Calculer $\left\|X^{n}-X^{m}\right\|_{1}$ pour $m$ et $n$ entiers naturels distincts. $S(0,1)$ est-elle une partie compacte de $E ?$ Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%\bigskip

\item \textbf{CCINP 39} :  On note $\ell^2$ l'ensemble des suites $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels telles que la série $\displaystyle\sum x_n^2$ converge.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
 Démontrer que, pour $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \ell^2$ et $y=(y_n) _{n\in\mathbb{N}}\in \ell^2$, la série $\displaystyle\sum x_ny_n$ converge.
On pose alors  $(x|y)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x_ny_n$.
\item 
  Démontrer que $\ell^2$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombres réels.
	\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, on admet que $(\:|\:)$ est un produit scalaire dans $\ell^2$.

 On suppose que $\ell^2$ est muni de ce produit scalaire et de la norme euclidienne associée.
 
\item Soit  $p\in\mathbb{N}$. Pour tout $x=(x_n)\in \ell^2$, on pose $\varphi(x)=x_p$.\\
 Démontrer que $\varphi$ est une application linéaire et continue de $\ell^2$ dans $\mathbb{R}$.
 \item  On considère l'ensemble $F$ des suites réelles presque nulles c'est-à-dire l'ensemble des suites réelles dont tous les termes sont nuls sauf peut-être un nombre fini de termes.
 Déterminer $F^{\perp}$ (au sens de $(\:|\:)$).
 Comparer $F$ et $\left( F^{\perp}\right) ^{\perp}$.
\end{enumerate}%\bigskip



\item \textbf{CCINP 76} :
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni  d'un produit scalaire noté $(\:|\:)$.

On pose $\forall\:x\in E$, $||x||=\sqrt{(x|x)}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer et d\'{e}montrer l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz.
\item Dans quel cas a-t-on égalité? Le démontrer.
\end{enumerate}
\item Soit $E=\left\lbrace f\in\mathcal{C}\left( \left[ a,b\right] ,\mathbb{R}\right) ,\:\forall\:x\in \left[ a,b\right]\:f(x)>0  \right\rbrace$. 
Prouver que l'ensemble  \[ \left\lbrace \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\mathrm{d}t\times \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{f(t)}\mathrm{d}t\:,\:f\in E\right\rbrace\] admet une borne inférieure $m$ et déterminer la valeur de $m$.
\end{enumerate}\bigskip


\item \textbf{CCINP 77} : 
Soit $E$ un espace euclidien.
\begin{enumerate}
\item  Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $E$.
D\'{e}montrer que $\left( A^{\perp }\right) ^{\perp }=A$.
\item
Soient  $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
\begin{enumerate}

\item

D\'{e}montrer que \ $\left( F+G\right) ^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.

\item D\'{e}montrer que\ $\left( F\cap G\right) ^{\perp }=F^{\perp}+G^{\perp }$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}\bigskip


\item \textbf{CCINP 79} :
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a$<$b$.

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ une fonction continue et positive de $[a,b]$ dans $\R$.

Démontrer que  $\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\mathrm{d}x=0\Longrightarrow h=0$.

\item Soit $E$ le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$.

  On pose : $\forall\:(f,g)\in E^2$, $\left( f|g\right) =\displaystyle\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$.
   Démontrer que l'on d\'{e}finit ainsi un produit scalaire sur $E$.

\item Majorer $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{x}e^{-x}\mathrm{d}x$ en utilisant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz.
\end{enumerate}
\bigskip

\item\textbf{CCINP 80} : Soit $E\ $l'espace vectoriel des applications continues et $2\pi $-p\'{e}riodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left( f\ |\ g\right) =\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{2\pi }f\left( t\right) g\left( t\right) \text{d}t$ d\'{e}finit un produit scalaire sur $E$.

\item Soit $F$ le sous-espace vectoriel engendr\'{e} par $f:x\mapsto \cos x$ et $g:x\mapsto \cos \left( 2x\right)$.\bigskip

D\'{e}terminer le projet\'{e} orthogonal sur $F$ de la fonction $u:x\mapsto \sin ^{2}x$.
\end{enumerate}\bigskip

\item\textbf{CCINP 81} : On d\'{e}finit dans $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \times \mathcal{%
M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \ $l'application $\varphi$ par : $\varphi \left( A,A'\right)
=\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)$, où $\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)$ désigne la trace du produit de la matrice $^tA$ par la matrice $A'$.\\ 
On admet que $\varphi $ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( 
\mathbb{R}\right)\ .$\\
\medskip
On note $\mathcal{F}=\left\{  
\begin{pmatrix}
a & b \\ 
-b & a%
\end{pmatrix}%
,\ \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\}$.\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $.

\item D\'{e}terminer une base de $\mathcal{F}^{\perp }$.

\item D\'{e}terminer la projection orthogonale de $J=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 
1 & 1%
\end{pmatrix}%
$ sur $\mathcal{F}^{\perp }$ .
\item
Calculer la distance de $J$ à $\mathcal{F}$.
\end{enumerate}\bigskip

\item \textbf{CCINP 82} : Soit $E$ un espace pr\'{e}hilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $n>0$.\smallskip

On admet que, pour tout $x\in E$, il existe un élément unique $y_0$ de $F$ tel que $x-y_0$ soit orthogonal à $F$ et que la distance de $x$ à $F$ soit égale à  $\left\Vert x-y_0\right\Vert$.

Pour $A=\begin{pmatrix}
a & b \\ 
c & d%
\end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix}
a^{\prime } & b^{\prime } \\ 
c^{\prime } & d^{\prime }%
\end{pmatrix}$,  on pose $\left(  A\ |\ A'\right) =aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}+dd^{\prime}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que  $\left( \,.\,|\,.\,\right) $ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)$.

\item Calculer la distance de la matrice $A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 
-1 & 2%
\end{pmatrix}$ au sous-espace vectoriel $F$ des matrices triangulaires sup\'{e}rieures.
\end{enumerate}\bigskip
%\pagebreak

\item \textbf{CCINP 92} : Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On considère $E=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.

On pose : $\forall(A,B)\in E^2$, $\left\langle A\:,B \right\rangle=\mathrm{tr}({}^t\! AB)$ où tr désigne la trace et ${}^t\! A$ désigne la transposée de la matrice $A$.
\begin{enumerate}
\item
Prouver que  $\left\langle\:,\right\rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
\item
On note $S_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de $E$.
Une matrice $A$ de $E$ est dite antisymétrique lorsque ${}^t\!A=-A$.
On note $A_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $E$.

On admet que $S_n(\mathbb{R})$  et $A_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.
\begin{enumerate}
\item
Prouver que $E=S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$.
\item
Prouver que $A_n(\mathbb{R})^\perp=S_n(\mathbb{R})$.
\end{enumerate}
\item
Soit $F$ l'ensemble des matrices diagonales de $E$.\\
Déterminer $F^\perp$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document} 
