\documentclass[10pt]{td}

\begin{document}

\colle{17}{7 au 11 février}

\section{Réduction}

Révision de la première partie du chapitre, à laquelle s'ajoute

\begin{cadre}
\souscadre{Polynômes d'un endomorphisme, d'une matrice carrée}


Pour $u$ dans  ${\cal L}(E)$, morphisme d'algèbres $P\mapsto P(u)$ de $\K[X]$ dans ${\cal L}(E)$. Le noyau de ce morphisme
est l'idéal annulateur de $u$. Son image est la sous-algèbre commutative $\K[u]$ de ${\cal L}(E)$.&Pour $M$ dans $\K[X]$, morphisme $P\mapsto P(M)$ de $\K[X]$
dans ${\cal M}_n(\K)$, idéal annulateur de $M$, sous-algèbre $\K[M]$ de ${\cal M}_n(\K).$\\


Polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie, d'une matrice carrée.&


Le polynôme minimal est unitaire.\\

Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors la famille $(u^k)_{0\leqslant k\leqslant d-1}$
est une base de $\K[u]$.&\\

Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de~$P$.& Si $u(x)=\lambda \;x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)\; x.$\\

Théorème de Cayley-Hamilton.&Démonstration non exigible.\\

\souscadre{Lemme de décomposition des noyaux}
Si $P_1,\dots,P_r$
sont des éléments de $\K[X]$ deux à deux premiers entre eux de produit égal à $P$, alors~:
\[\ker\left(P(u)\right)
=\bigoplus_{i=1}^r\ker\left(P_i(u)\right).\]\vspace*{-.5cm}&\\

\souscadre{Polynômes annulateurs et diagonalisabilité}

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples annulant $u$, ou encore si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. 
&

Traduction matricielle.\\

Polynôme minimal d'un endomorphisme induit.
Diagonalisabilité d'un endomorphisme induit.&\\

\souscadre{Endomorphismes à polynôme minimal scindé}

S'il existe un polynôme scindé annulant $u$, décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces stables par~$u$ sur chacun desquels $u$ induit la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent.&
Traduction matricielle.

La décomposition de Dunford et la réduction de Jordan sont hors programme.\\
\end{cadre}
La notion de polynôme minimal a été ajoutée par rapport à la semaine dernière.

\section{Topologie (Limite, continuité, compacité)}

\begin{cadre}
\souscadre{e) Étude locale d'une application, continuité}

Limite en un point adhérent à une partie $A$.


Caractérisation séquentielle.&Extensions :
limite de $f(x)$ lorsque $\|x\|$ tend vers $+\infty$,
limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou
$-\infty$ lorsque $A$ est une partie de $\R$,
limite infinie en $a$ adhérent à $A$ pour une fonction réelle.\\

Cas d'une application à valeurs dans un produit fini d'espaces vectoriels normés.&\\

Opérations algébriques sur les limites. Limite d'une composée.&\\


Continuité en un point.& \\

Caractérisation séquentielle.&\\

Opérations algébriques sur les applications continues.
Composition de deux applications continues.
&Les étudiants doivent savoir que deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.\\
Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une application continue.&\\

Applications uniformément continues, applications lipschitziennes.&
Exemple : l'application $x\mapsto d(x,A)$ où $A$ est une partie de $E$.\\
Pour qu'une application linéaire $u$ de $E$
dans $F$ soit continue, il faut et il suffit qu'il existe $C>0$ tel que~:
$$\forall x\in E,\quad \|u(x)\|\leqslant C\|x\|.$$
&Notation ${\cal L}_c(E,F)$.

La notion de norme subordonnée est hors programme.
\\
\souscadre{f) Parties compactes d'un espace normé}

Définition d'une partie compacte par la propriété de Bolzano-Weierstrass.&La propriété de Borel-Lebesgue est hors programme.\\
Une partie compacte est fermée
et bornée. &\\

Une partie fermée d'une partie compacte est compacte.&\\
\textbf{Une suite d'éléments d'une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.}&
\\
\textbf{Produit d'une famille finie de compacts.}&\\

\souscadre{g) Applications continues sur une partie compacte}

\textbf{Image d'une partie compacte par une application continue.}&
Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes. \\
\textbf{Théorème de Heine.}&\\

\souscadre{i) Espaces vectoriels normés de dimension finie}

{Équivalence des normes sur un espace de dimension finie.}&
{Démonstration non exigible.}\\
{Invariance des différentes notions topologiques par rapport au choix d'une norme en dimension finie.}&{Les étudiants doivent savoir que la convergence d'une suite (ou l'existence de la limite d'une fonction) à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.}\\

\textbf{Une partie d'un espace normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.}&\\
\textbf{Une suite bornée d'un espace normé de dimension finie converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence.}\\

\textbf{Un sous-espace de dimension finie d'un espace normé est fermé.}&\\

Si $E$ est de dimension finie, toute application linéaire de $E$ dans $F$
est continue.&\\

Continuité des applications polynomiales, des applications multilinéaires définies sur un produit d'espaces vectoriels normés de dimensions finies.& Exemple : déterminant.\\
\end{cadre}
\textbf{Les parties en gras ne seront vues que lundi. Ne pas interroger dessus en début de semaine.}
\medskip

Étude sur quelques exemples de la limite et de la continuité d'une fonction réelle de deux variables réelles : celles des applications partielles sont nécessaires mais non suffisantes. Changement de variable (par composition) par exemple en polaire.
\medskip

\emph{Semaine prochaine :} Connexité par arcs, espaces préhilbertiens.
%\pagebreak

\questionDeCours
\bigskip
\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Si $F$ est un sous-espace stable, relation entre polynôme caractéristique (révision), polynôme minimal, diagonalisabilité de l'endomorphisme induit par rapport à ceux de l'endomorphisme.

Savoir en déduire les sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable.
\item Caractérisation de la trigonalisabilité par l'existence d'un polynôme annulateur scindé.
\item Image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue, fonctions continues coïncidant sur une partie dense.
\item Caractérisations de la continuité d'une application linéaire (voir aussi CCINP 36).
\item Si l'espace de départ est de dimension finie, continuité des applications linéaires et bilinéaires.
\item Les compacts sont fermés bornés ; les fermés des compacts sont compacts. (Voir aussi CCINP 13).
\item \textbf{(à partir de mardi)} Image continue d'un compact et théorème des bornes atteintes.
\item \textbf{(à partir de mardi)} Théorème de Heine.
\item \textbf{(à partir de mardi)} Un sous-espace de dimension finie est fermé.
%\item Une suite d'un compact converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence. Cas des suites bornées en dimension finie.
\item \textbf{CCINP 13 (nouvelle banque 2022)}
\begin{enumerate}
\item Rappeler, oralement, la définition, par les suites de vecteurs, d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé.
\item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie fermée de cet espace.
\item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie bornée de cet espace. Indication : On pourra raisonner par l'absurde.
\item On se place sur $E=\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $\|\cdot\|_{1}$ définie pour tout polynôme $P=a_{0}+a_{1} X+\ldots .+a_{n} X^{n}$ de $E$ par : $\|P\|_{1}=\ds\sum_{i=0}^{n}\left|a_{i}\right|$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $S(0,1)=\left\{P \in \mathbb{R}[X],\  \ \|P\|_{1}=1\right\}$ est une partie fermée et bornée de $E$.
\item Calculer $\left\|X^{n}-X^{m}\right\|_{1}$ pour $m$ et $n$ entiers naturels distincts. $S(0,1)$ est-elle une partie compacte de $E ?$ Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 35} : $E$ et $F$ désignent deux espaces vectoriels normés.

\begin{enumerate}
\item Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$.

On considère les propositions suivantes:

\begin{description}
\item[P1.] $f$ est continue en $a$.
\item[P2.] Pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d'éléments de $E$ telle que $x_n\limite n{+\infty}a$, alors $f(x_n)\limite n{+\infty}f(a)$. 
\end{description}
Prouver que les propositions P1 et P2 sont équivalentes. 

\item Soit $A$ une partie dense dans $E$, et soient $f$ et $g$ deux applications continues de $E$ dans $F$.

Démontrer que si, pour tout $x\in A$, $f(x)=g(x)$, alors $f=g$. 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 36} : Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb R$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$, alors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes:

	\begin{description}
	\item[P1.] $f$ est continue sur $E$.
	\item[P2.] $f$ est continue en $0_E$.
	\item[P3.] $\exists k>0$ tel que : $\forall x\in E, \left\Vert f(x)\right\Vert_{F} \leqslant k\left\Vert x\right\Vert_E$.
	\end{description}
	
\item Soit $E$ l'espace vectoriel des applications  continues de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de la norme définie par: $\Vert f\Vert_{\infty}=\sup\limits_{x\in[0;1]}|f(x)|$~.
On considère l'application $\varphi$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1 f(t)\text{d}t$.

Démontrer que $\varphi$ est linéaire et continue.
%\item Pour toute fonction $f$ linéaire et continue de $E$ dans $F$, on pose $|||f|||=\displaystyle\sup_{\left\Vert x\right\Vert \leqslant1}\dfrac{\left\Vert f(x)\right\Vert}{\left\Vert x\right\Vert }\cdot$

%Démontrer que $f\longmapsto|||f|||$ est une norme dans l'espace vectoriel ${\cal L}(E,F)$ des applications linéaires et continues de $E$ dans $F$. 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 41} : \'Enoncer quatre théorèmes différents ou méthodes permettant de prouver qu'une partie d'un espace vectoriel normé est fermée et, pour chacun d'eux, donner un exemple concret d'utilisation dans $ \mathbb{R}^2$.\\
Les théorèmes utilisés pourront être énoncés oralement à travers les exemples choisis.\\

\textbf{Remarques} :
\begin{enumerate}
\item On utilisera au moins une fois des suites.
\item On pourra utiliser au plus une fois le passage au complémentaire.
\item Ne pas utiliser le fait que $ \mathbb{R}^2$ et l'ensemble vide sont des parties ouvertes et fermées.
\end{enumerate}
\pagebreak
\item \textbf{CCINP 88} :
\begin{enumerate}
 \item Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel ($\mathbb K = \mathbb R \: \text{ou} \: \mathbb C$).\\
Soit $u \in \mathcal L (E)$. Soit $P \in \mathbb K[X]$.\\
Prouver que si $P$ annule $u$, alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.
 \item Soit $n \in \mathbb N$ tel que $n \geqslant 2$. On pose $E = \mathcal {M}_n (\mathbb R)$.\\
 Soit $A=\left( a_{i,j}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n  \\ 1\leqslant j\leqslant n}}$ la matrice de $E$ d\'efinie par $\displaystyle a_{i,j} = \left\{\begin{array}{l c l}
 0 & \text{si} & i = j \\
 1 & \text{si} & i \neq j \end{array} \right.$.\\
 Soit $u \in \mathcal L (E)$ d\'efini par : $\forall M \in E, u(M) = M + \text{tr}(M) A$.
\begin{enumerate}
 \item Prouver que le polynôme $X^2 - 2X + 1$ est annulateur de $u$.
 \item $u$ est-il diagonalisable ?\\
 Justifier votre r\'eponse en utilisant deux m\'ethodes (une avec puis sans l'aide de la question a).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 91} :
 On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
0& 2 & -1 \\ 
-1& 3 &-1 \\ 
-1& 2 & 0
\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}).$
\begin{enumerate}
\item Montrer  que $A$ n'admet qu'une seule valeur propre que l'on déterminera. 
\item La matrice $A$ est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
\item Déterminer, en  justifiant, le polynôme minimal de $A$. Vérifier que le polynôme caractéristique de $A$ en est un polynôme annulateur.
\item 
Soit $n\in\mathbb{N}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)^2$ et en déduire la valeur de $A^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 
