\documentclass[9pt,mp]{td}

\begin{document}

\colle{18}{22 au 26 février} 

\section*{Probabilités}

\begin{programme}
\begin{cadre}

\souscadre{a) Espaces probabilisés}


Tribu sur un ensemble $\Omega$.& On se borne à la définition et à la stabilité par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.\\

Événements.
&Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année.

Espace probabilisable $(\Omega,\mathcal{A})$.

\\

Si $\mathcal{A}$ est une  tribu sur $\Omega$, une probabilité sur
$(\Omega,\mathcal{A})$ est une application $P$ définie sur $\mathcal{A}$, à valeurs dans $[0,1]$, telle que $P(\Omega)=1$ et, pour toute suite $(A_n)_{n\geqslant 0}$ d'événements deux à deux disjoints, on ait~:
$$P\biggl(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\biggr)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n).$$
&Espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$.\\

Si $\Omega$ est fini ou dénombrable et si $\mathcal{A}={\cal P}(\Omega)$, une probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal{A})$ s'identifie, via la formule
\[P(\{\omega\})=p_{\omega},\]
à une famille $(p_{\omega})_{\omega\in \Omega}$
de réels positifs sommable de somme $1$.&\\

\souscadre{b) Propriétés élémentaires des probabilités}

Continuité croissante : si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite d'événements croissante pour l'inclusion, alors
$\ds P(A_n)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow P\biggl(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\biggr).$&\\

Continuité décroissante : si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite d'événements décroissante pour l'inclusion, alors $\ds P(A_n)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow P\biggl(\bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n\biggr).$&\\



Si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite d'événements, alors $\ds P\biggl(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\biggr)
\leqslant \sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n).$&\\

Événements négligeables, événements presque sûrs. Une réunion finie ou dénombrable
d'événements négligeables est négligeable.&Propriétés presque sûres.

Tout développement sur ces notions est hors programme.\\


\souscadre{c) Probabilités conditionnelles et indépendance}

Extension des résultats vus en première année dans le cadre des univers finis : probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formules de Bayes.&Notations $P_B(A), P(A|B)$.\\

Couple d'événements indépendants. Famille quelconque d'événements mutuellement indépendants.&\\
\end{cadre}
\end{programme}

Pas de variable aléatoire pour le moment.
\section*{Espaces vectoriels normés}
Extrait du programme officiel.
\medskip

%\begin{programme}
\tb{Les notions d'espace métrique et, a fortiori, d'espace topologique, sont hors programme. }

\tb{Les notions de suite de Cauchy et d'espace de Banach sont hors programme.}

\begin{cadre}
\souscadre{Normes et espaces vectoriels normés}

Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Structure d'espace vectoriel normé.
&Vecteurs unitaires.\\


Distance associée à une norme.
&Inégalité triangulaire.\\




Boules fermées, boules ouvertes, sphères.
Convexité des boules.&\\

Parties, suites, fonctions bornées.&\\

Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel. &\\
Normes $\|\;\|_1$, $\|\;\|_2$, $\|\;\|_\infty$
sur $\K^n$.\\
Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées à valeurs dans $\K$.\\
Normes de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l'espace des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles ou complexes.&\\


Produit fini d'espaces vectoriels normés.&\\

\souscadre{Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé}
Suite convergente, divergente. Unicité de la limite. Caractère borné d'une suite convergente. Opérations algébriques sur les suites convergentes. Convergence d'une suite à valeurs dans un produit fini d'espaces vectoriels normés.&\\
Suites extraites,
valeurs d'adhérence.&Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence diverge.\\


\souscadre{Comparaison des normes}
Normes équivalentes.& Invariance du caractère borné, de la convergence
d'une suite. Utilisation des suites pour établir que deux normes ne sont pas équivalentes.

La comparaison de normes  définies sur des espaces fonctionnels
fait partie des capacités attendues des étudiants. \\

\souscadre{Espaces vectoriels normés de dimension finie}

Équivalence des normes sur un espace de dimension finie.&
Démonstration non exigible.\\


\end{cadre}


\textbf{Semaine prochaine} : Topologie, réduction des endomorphismes (polynômes annulateurs).
%\pagebreak

%\vspace*{-.5cm}
\questionDeCours


\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Définitions d'une tribu, d'une probabilité, d'un système complet d'événements, d'un événement négligeable, d'un événement presque sûr, d'une probabilité conditionnelle, de l'indépendance mutuelle.
\item Continuité croissante : si $(A_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite d'événements croissante pour l'inclusion, alors
$\ds P(A_n)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow P\biggl(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\biggr).$
\item Énoncé et démonstration des formules de probabilités composées, totales, Bayes.
\item Si des événements sont mutuellement indépendants, on peut passer certains événements au complémentaires en conservant l'indépendance. Démonstration pour le passage d'un événement au complémentaire.
\item Normes usuelles sur $\K^n$.
\item Norme $N_\infty$ sur l'espace vectoriel des fonctions bornées sur un ensemble $X$ non vide à valeurs dans $\K$.
\item Comparaisons (les 6) des normes usuelles sur $\R^n$.
\item Comparaisons des normes usuelles sur $\mathcal C([a, b], \R)$.
\item Toute démonstration de résultat concernant les suites vectorielles du programme.
\item \textbf{CCINP 37} :
 On note $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$.\\
 On pose: $\forall \:f\in E$,
$N_{\infty}(f)=\sup\limits_{x\in[0;1]} |f(x)|$ et $N_1(f)=\displaystyle\int_0^1|f(t)| \text{d}t$.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $N_{\infty}$ et $N_1$ sont deux normes sur $E$.
\item Démontrer qu'il existe $k>0$ tel que, pour tout $f$ de $E$, $N_1(f)\leq k N_{\infty}(f)$.
\item (5/2) Démontrer que tout ouvert pour la norme $N_1$ est un ouvert pour la norme $N_{\infty}$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les normes $N_1$ et $N_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 38} :
On note $\mathbb{R}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. \\
On pose  $\forall\:P\in\mathbb{R}[X]$, $N_1(P)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n} |a_i|$ et $N_{\infty}(P)=\underset{0\leq i\leq n}{\max}|a_i|$ où $P=\displaystyle\sum_{i=0}^na_i X^i$ avec $n\geqslant \deg P$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer  que $N_{\infty}$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.\\
	Dans la suite de l'exercice, on admet que $N_1$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$. 
	\item (5/2) Démontrer que tout ouvert  pour la norme $N_{\infty}$ est un ouvert pour la norme $N_1$.
	\item Démontrer que les normes $N_1$ et $N_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathbb{R}_k[X]$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à $k$. On note $N'_1$ la restriction de $N_1$ à $\mathbb{R}_k[X]$ et $N'_{\infty}$ la restriction de $N_{\infty}$ à $\mathbb{R}_k[X]$. 

Les normes $N'_1$ et $N'_{\infty}$ sont-elles équivalentes?
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 101} :
Dans une zone désertique, un animal  erre entre trois points d'eau $A$, $B$ et $C$.

\`A l'instant $t=0$, il se trouve au point A.

Quand il a épuisé l'eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l'un des deux autres points d'eau.

 L'eau du point qu'il vient de quitter se régénère alors.
 \medskip
Soit $n\in\mathbb{N}$.

On note $A_n$ l'événement «l'animal est en $A$  après son $n^{\text{ième}}$ trajet».

On note $B_n$ l'événement «l'animal est en $B$  après son $n^{\text{ième}}$ trajet».

On note $C_n$ l'événement «l'animal est en $C$  après son $n^{\text{ième}}$ trajet».

\medskip
On pose $P(A_n)=a_n$, $P(B_n)=b_n$ et $P(C_n)=c_n$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Exprimer, en le justifiant, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
\item Exprimer, de même, $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.

\end{enumerate}

\item
On considère la  matrice $A=\left( {\begin{array}{ccc}
  0&\nicefrac{1}{2}&\nicefrac{1}{2} \\ 
   \nicefrac{1}{2}&0& \nicefrac{1}{2}\\
  \nicefrac{1}{2}&\nicefrac{1}{2}&0 \\ 
  
\end{array}} \right)$.

\begin{enumerate}
\item 
Justifier, sans calcul, que la matrice $A$ est diagonalisable.
\item
Prouver que $-\dfrac{1}{2}$ est valeur propre de $A$ et déterminer le sous-espace propre associé.
\item
Déterminer une matrice $P$  inversible  et une matrice $D$  diagonale de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $D=P^{-1}AP$.\\
\textbf{Remarque}: le calcul de $P^{-1}$ n'est pas demandé.
\end{enumerate}
\item
Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.\\
\textbf{Remarque}: aucune expression finalisée de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ n'est demandée.
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 105} : 
\begin{enumerate}
\item
\'Enoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d'événements.
\item
On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés (c'est-à-dire truqués).\\
Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut $\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}


\item
On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé  et on obtient le chiffre 6.\\
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé?
\item 
Soit $n\in\mathbb{N}^*.$ \\
On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$.\\
Quelle est la probabilité $p_n$ que ce dé soit pipé?
\item
Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}^{}p_n$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 107} :
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

L'urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires.

L'urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires.

On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :
\begin{itemiz}
\item On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie.
\item On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient.
\item Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne $U_1$.
\item Sinon le tirage suivant se fait dans l'urne $U_2$.
\end{itemiz}

Pour tout  $n\in\mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l'événement « la boule tirée au $n^{\text{ième}}$ tirage est blanche »
et on pose $p_n=P(B_n)$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer $p_1$.
\item
Prouver que : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $p_{n+1}=-\dfrac{6}{35}p_n+\dfrac{4}{7}$.
\item
En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n$.
\end{enumerate} 

\item \textbf{CCINP 112} :
Soit $n\in\N
^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.
On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\subset B $.
\item
Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\cap B=\emptyset $.
\item
Déterminer le nombre $c$ de triplets  $(A,B,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^3$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A\cup B\cup C=E$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\pagebreak

\section*{Programme de MPSI}

\begin{programme}

\subsection{Probabilité}

\begin{cadre}

\souscadre{a) Expérience aléatoire et univers}

L'ensemble des issues (ou résultats possibles ou réalisations) d'une expérience aléatoire est
appelé univers.& On se limite au cas où cet univers est fini.\\



\'Evénement, événement élémentaire (singleton), événement contraire, événement \og $A$ et $B$ \fg
, événement \og$A$ ou $B$ \fg, événement impossible, événements incompatibles, système complet d'événements.
&\\

\souscadre{b) Espaces probabilisés finis}
Une probabilité sur un univers fini $\Omega$ est une application $P$ de $\mathcal{P} (\Omega)$ dans $[ 0 , 1 ]$ telle que $P (\Omega) = 1$ et, pour toutes parties disjointes $A$ et $B$, $P (A \cup B) = P (A) + P (B).$
&Un espace probabilisé fini est un couple $(\Omega , P)$ où $\Omega$ est un univers fini et $P$ une probabilité sur $\Omega$.\\
Détermination d'une probabilité par les images des singletons. &\\
Probabilité uniforme. &\\
Propriétés des probabilités : probabilité de la réunion de deux événements, probabilité de l'événement contraire, croissance. &\\



\souscadre{c) Probabilités conditionnelles}
Si $P (B) > 0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est définie par : $P (A|B) = P_B (A) = \dfrac{P (A \cap B)}{P (B)}.$ &  On justifiera cette définition par une approche heuristique fréquentiste.

L'application $\P_B$ est une probabilité.\\

Formule des probabilités composées.
&\\

Formule des probabilités totales.  &\\
Formules de Bayes :
\begin{enumerate}
\item
si $A$ et $B$ sont deux événements tels que $\P(A)>0$ et $\P(B)>0$, alors
$$P(A\,|\,B)=\frac{P(B\,|\,A)\,P(A)}{P(B)}$$
\item
si $(A_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ est un système complet d'événements de probabilités
non nulles et si $B$ est un événement de probabilité non nulle, alors
$$P(A_j\,|\,B)= \frac{P(B\,|\,A_j)\;P(A_j)}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n P(B\,|\,A_i)\;P(A_i)}}$$
\end{enumerate} & On donnera plusieurs applications issues de la vie courante.\\



\souscadre{d) \'Evénements indépendants}
Couple d'événements indépendants. & Si $P (B) > 0$, l'indépendance de $A$ et $B$ s'écrit $P (A|B) = P (A)$.\\
Famille finie d'événements mutuellement indépendants. &  L'indépendance deux à deux des événements $A_1,\dots,A_n$ n'implique pas l'indépendance mutuelle si $n\geqslant3$.\\
\end{cadre}
\end{programme}
\end{document} 
