\documentclass[9pt,mp]{td}

\begin{document}

\colle{14}{17 au 21 janvier} 

\section*{Séries entières}

\begin{programme}
\tb{Les coefficients des séries entières considérées sont réels ou complexes.}


\begin{cadre}



\souscadre{a) Généralités}

Série entière.&\\

Lemme d'Abel :
si  la suite $\left(a_n z_0^n\right)$ est bornée
alors, pour tout nombre complexe $z$ tel que
$\vert z \vert <\vert z_0\vert$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
&\\


Rayon de convergence d'une série entière.&Disque ouvert de convergence ; intervalle ouvert de convergence.\\
La convergence est normale sur tout disque fermé de centre $0$ et de rayon
strictement inférieur à $R$ ; la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement
pour tout $z$ tel que $|z|>R$.
Si $a_n=O(b_n)$, $R_a\geqslant R_b$. Si $a_n\sim b_n$, $R_a=R_b$.&\\

Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont même rayon de convergence.&\\
Utilisation de la règle de d'Alembert.&\\

Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence.&
L'étude des propriétés de la somme au bord du disque ouvert de convergence n'est pas un objectif du programme. \\


Somme et produit de Cauchy de deux séries entières.&\\


\souscadre{b) Série entière d'une variable réelle}


Primitivation d'une série entière sur l'intervalle ouvert de convergence.
&\\
La somme d'une série entière est de classe $C^{\infty}$ sur l'intervalle ouvert de convergence et ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme.&\\

Expression des coefficients d'une série entière de rayon de convergence strictement positif à l'aide des dérivées en $0$ de sa somme. &Si les fonctions $x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ et $x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$ coïncident sur un  voisinage de $0$, alors pour tout $n$, $a_n=b_n$.\\


\souscadre{c) Fonctions développables en série entière, développements usuels}


Développement de $\exp(z)$ sur $\C$.&\\

Développement de $\displaystyle{\frac{1}{1-z}}$ sur $\{z\in \C,\;|z|<1\}$.&\\
Fonction développable en série entière sur un intervalle $]-r,r[$ de $\R$. Série de Taylor d'une fonction de classe $C^{\infty}$ sur un intervalle $]-r,r[$.& \\
Développements de fonctions de variable réelle.& Les étudiants doivent connaître les développements en série entière des fonctions
exponentielle, hyperboliques, circulaires,  Arctan, $x\mapsto \ln(1+x)$ et $x\mapsto (1+x)^\alpha$.

Les étudiants doivent savoir développer une fonction en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire.\\

\end{cadre}

\end{programme}


\section*{Dénombrement (révisions de MPSI)}

Tout exercice de dénombrement, pouvant être issu de situation probabiliste (probabilité uniforme sur des univers finis, programme de MPSI), mais rien de plus concernant les probabilités cette semaine.

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{a) Cardinal d'un ensemble fini}
Cardinal d'un ensemble fini. & Notations $|A|$, $\Card(A)$, $\# A$.

Tout fondement théorique des notions d'entier naturel et de cardinal est hors programme.\\
Cardinal d'une partie d'un ensemble fini, cas d'égalité. &\\
Une application entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. &\\
Cardinal d'un produit fini d'ensembles finis. &\\
Cardinal de la réunion de deux ensembles finis. & La formule du crible est hors programme.\\
Cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble fini dans un autre. &\\
Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini. &\\

\souscadre{b) Listes et combinaisons}
Nombre de $p$-listes (ou $p$-uplets) d'éléments distincts d'un ensemble de cardinal $n$, nombre d'applications injectives d'un ensemble de cardinal $p$ dans un ensemble de cardinal $n$, nombre de permutations d'un ensemble de cardinal $n$. &\\
Nombre de parties à $p$ éléments (ou $p$-combinaisons) d'un ensemble de cardinal $n$. &
Démonstration combinatoire des formules de Pascal et du binôme.
\end{cadre}
\end{programme}

\textbf{Semaine prochaine} : Probabilités
%\pagebreak
\questionDeCours


\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
%\item Théorème spectral.
\item Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont même rayon de convergence. 

Effet des comparaisons asymptotiques ($\leqslant$, $o$, $O$, $\sim$) sur le rayon de convergence.
\item Convergence normale sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence.
\item Somme de deux séries entières.
\item Produit de Cauchy de deux séries entières. 

Exemple le produit a un rayon de convergence strictement plus grand que le minimum des rayons de convergence des deux séries entières, pourtant différents.
\item Classe $\mathcal C^\infty$ sur l'intervalle ouvert de convergence et expression des dérivées.
\item Liste des développements en série entière des fonctions usuelles au programme.
\item Développement en série entière de $x\mapsto(1+x)^\alpha$ à l'aide d'une équation différentielle.

\item \textbf{CCINP 2} : On pose $f(x)=\dfrac{3x+7}{(x+1)^{2}}$~.
\begin{enumerate}
\item Décomposer $f(x)$ en éléments simples.
\item En déduire que $f$ est développable en série entière sur un intervalle du type $\left]-r,r \right[$ (où $r>0$).\\
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité $D$ de ce développement en série entière.

\item 
\begin{enumerate}
\item
Soit $\sum a_nx^n$ une série entière de rayon $R>0$.
On pose, pour tout $x\in \left]-R,R \right[ $, $g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

Exprimer, pour tout entier $p$,  en le prouvant,  $a_p$ en fonction de $g^{(p)}(0)$.
\item
En déduire le développement limité de $f$ à l'ordre 3 au voisinage de 0.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 14} : \begin{enumerate}
\item
Soit $a$ et $b$ deux réels donnés avec $a<b$.\\
  Soit $\left( f_{n}\right) $\ une suite de fonctions continues sur $[a,b],$ \`{a} valeurs r\'{e}elles. \\
Démontrer que si la suite $\left( f_{n}\right)$ converge uniform\'{e}ment sur $\left[ a,b\right] $ vers $f$, alors la suite $\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f_{n}\left( x\right)\text{d}x\right)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right) \text{d}x$. 


\item Justifier comment ce r\'{e}sultat peut \^{e}tre utilis\'{e} dans le cas des s\'{e}ries de fonctions. 

\item
D\'{e}montrer que
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\right) \text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n2^{n}}~.$ 


\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 15} : Soit $X$ une partie de $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $ .
\begin{enumerate}
\item
Soit $\displaystyle\sum f_n$ une série de fonctions définies sur $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Rappeler la définition de la convergence normale de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$, puis celle  de la convergence uniforme de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$.
\item Démontrer que toute s\'{e}rie de fonctions, à valeurs dans $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $, normalement convergente sur $X$ est uniform\'{e}ment convergente sur $X$. 
\item La s\'{e}rie de fonctions $\displaystyle\sum \dfrac{n^{2}}{n!}z^{n}$ est-elle uniform\'{e}ment convergente sur le disque ferm\'{e} de centre $0$ et de rayon $R\in \mathbb{R}_{+}^{\ast}$? 

\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 18} : On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $u_n (x) =\dfrac{ ( - 1)^n x^n } { n}$.
On considère la série de fonctions $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}u_n$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de cette série.

On note $D$ l'ensemble des $x$ où cette série converge et $S(x)$ la somme de cette série pour $x\in D$. 
\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur $D$. 
	\item La fonction $S$ est-elle continue sur $D$? 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 20} :  \begin{enumerate}
\item Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de la variable complexe.


\item Déterminer le rayon de convergence de chacune des s\'{e}ries enti\`{e}res suivantes:
\begin{multicols}3
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\sum \dfrac{\left(n!\right)^{2}}{\left(2n\right)!}z^{2n+1}$. 


\item  $\displaystyle\sum n^{\left( -1\right)^{n}} z^{n}$.

\item
$\displaystyle\sum \cos(n)z^{n}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 21} : \begin{enumerate}


\item  Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de la variable complexe.

\item
Soit $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite born\'{e}e telle que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum a_{n}$ diverge. Quel est le rayon de convergence de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$? Justifier. 

\item Quel est le rayon de convergence de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\displaystyle\sum \limits_{n\geqslant 1}^{}\left( \sqrt{n}\right)^{(-1)^n} \ln \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)  z^{n}$? 

\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 22} : \begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières? Le démontrer.

\item D\'{e}velopper en s\'{e}rie enti\`{e}re au voisinage de $0$, en précisant le rayon de convergence, la fonction \linebreak$f\ :\ x\longmapsto \ln \left( 1+x\right)+\ln \left( 1-2x\right)$. 

La s\'{e}rie obtenue converge-t-elle pour $x=\dfrac{1}{4}$? $x=\dfrac{1}{2}$? $x=-\dfrac{1}{2}$? 

\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 23} : Soit $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite complexe telle que la suite $\left( \dfrac{\left\vert a_{n+1}\right\vert }{\left\vert a_{n}\right\vert }\right) _{n\in \mathbb{N}}$ admet une limite.
\begin{enumerate}
\item 
Démontrer que les s\'{e}ries enti\`{e}res $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ et $\displaystyle\sum (n+1)a_{n+1}x^{n}$ ont le m\^{e}me rayon de convergence.

On le note $R$.

\item Démontrer que la fonction $x\longmapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}$ est de classe $\mathcal{C}^1$  sur l'intervalle $]-R,R[$. 
\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 24} : \begin{enumerate}
\item Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum\dfrac{x^n}{(2n)!}$.

On pose $S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(2n)!}$.
\item Rappeler, sans démonstration, le développement en série entière en 0 de la fonction $x\mapsto \text{ch}(x)$  et préciser le rayon de convergence.

\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer $S(x)$. 
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
	\begin{equation*}
	f(0)=1,\ \ f(x)=\text{ch}\sqrt x\text{ si $x>0$},\ \ f(x)=\cos\sqrt{-x}\text{ si $x<0$}\ .
	\end{equation*}
	Démontrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\item \textbf{CCINP 32} : Soit l'équation différentielle: $x(x-1)y''+3xy'+y=0$.
\begin{enumerate}
\item Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière sur un intervalle $\left]-r,r \right[$ de $\mathbb{R}$, avec $r>0$. Déterminer la somme des séries entières obtenues.

\item 
Est-ce que toutes les solutions de $x(x-1)y''+3xy'+y=0$ sur $\left]0;1 \right[$ sont les restrictions d'une fonction développable en série entière sur $\left]-1,1 \right[$? 

\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 47} : Pour chacune des séries entières de la variable réelle suivantes, déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière sur l'intervalle ouvert de convergence :
\begin{multicols}2
\begin{enumerate}
\item
$\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}^{} \dfrac{3^nx^{2n}}{n}$.
\item
$\displaystyle\sum a_nx^n$ avec $\left\lbrace \begin{array}{l}
a_{2n}=4^n\\
a_{2n+1}=5^{n+1}
\end{array}\right. $

\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \textbf{CCINP 51} : \begin{enumerate}
\item Montrer que la série $\sum\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{4n}(2n+1)}$ converge.

\medskip

On se propose de calculer la somme de cette série.

\medskip

\item Donner le développement en série entière en 0 de $t\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{1-t}}$ en précisant le rayon de convergence.\\
\textbf{Remarque}: dans l'expression du développement, on utilisera la notation factorielle. 

\item En déduire le développement en série entière en 0 de $x\longmapsto\mathrm{Arcsin}\,x$ ainsi que son rayon de convergence.

\item En déduire la valeur de  $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{4n}(2n+1)}$\,.

\end{enumerate}
\medskip
\item \textbf{CCINP 112} :
Soit $n\in\N
^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.
On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\subset B $.
\item
Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^2$ tels que $A\cap B=\emptyset $.
\item
Déterminer le nombre $c$ de triplets  $(A,B,C)\in \left(\mathcal{P}(E) \right)^3$ tels que $A$, $B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A\cup B\cup C=E$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 
