\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{13}{10 au 14 janvier} 

\section*{Ensembles dénombrables, familles sommables}

\begin{cadre}

\souscadre{Ensembles dénombrables}

Un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avec
$\N$.& Les parties infinies de $\N$ sont dénombrables.\\
Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec une
partie de $\N$.\\


Un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable. Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.&Démonstrations non exigibles.\\

Les ensembles $\N^2$, $\Z$ et $\Q$ sont dénombrables.&\\
L'ensemble $\R$ n'est pas dénombrable.& Démonstration non exigible.\\
\souscadre{Familles sommables}
Famille sommable de réels positifs indexée par un ensemble dénombrable. Somme.
& La famille $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si
l'ensemble des sommes $\displaystyle{\sum_{i\in F}u_i}$ où $F$ décrit l'ensemble des parties finies de $I$ est majoré ; dans ce cas, la somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ est la borne supérieure de l'ensemble précédent. Si la famille $(u_i)_{i\in I}$ n'est pas sommable, sa somme est~$+\infty$. Dans tous les cas, la somme est notée $\displaystyle{\sum_{i\in I}u_i}.$ \\



Théorème de sommation par paquets :&Démonstration hors programme.\\

si $(I_n)_{n\in \N}$
est une partition de $I$ et $(u_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs, alors
la famille $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si :
\begin{itemize}
\item
Pour tout entier $n$ la famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable.
\item La série $\displaystyle\sum\biggl(\displaystyle\sum_{i\in I_n}u_i\biggr) $ converge.
\end{itemize}
Dans ce cas :
$$\sum_{i\in I} u_i =\sum_{n=0}^{+\infty} \biggl(\sum_{i\in I_n} u_i\biggr).$$& \\


Famille sommable de nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable&La famille $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si la famille $(|u_i|)_{i\in I}$ l'est.\\

Somme d'une telle famille.&Pour une famille de réels, on se ramène à ses parties positive et négative.\\



Lorsque $I=\N$, lien avec la convergence absolue de la série $\sum u_n$.\\

Invariance de la sommabilité et de la valeur de la somme par permutation de l'ensemble des indices.&Démonstration non exigible.\\

Linéarité de la somme.&\\

Théorème de sommation par paquets.
&Démonstration hors programme.
On vérifie l'hypothèse de sommabilité en appliquant le théorème de sommation par paquets à la famille $(|u_i|)_{i\in I}$.\\



\souscadre{Applications des familles sommables}

La famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in \N^2}$ de réels positifs
est sommable si et seulement si pour tout $n$, la série $\sum a_{m,n}$
converge et la série $\displaystyle\sum_{}^{} \biggl(\displaystyle\sum_{m=0}^{+\infty} a_{m,n}\biggr)$
converge. Si tel est le cas
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\sum_{m=0}^{+\infty} a_{m,n}\biggr)
=\sum_{m=0}^{+\infty}\biggl(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{m,n}\biggr).\]
&\\
Si la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in \N^2}$
de nombres complexes est sommable, alors~:
\[\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=0}^{+\infty} a_{m,n}
=\sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty} a_{m,n}.\]
&On vérifie l'hypothèse de sommabilité en appliquant l'énoncé précédent
à la famille $(|a_{m,n}|)_{(m,n)\in \N^2}$.

\\

Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.&
\\

\end{cadre}

\section*{Séries entières (début)}

\begin{programme}
\tb{Les coefficients des séries entières considérées sont réels ou complexes.}


\begin{cadre}
\souscadre{Généralités}

Série entière.&\\

Lemme d'Abel :
si  la suite $\left(a_n z_0^n\right)$ est bornée
alors, pour tout nombre complexe $z$ tel que
$\vert z \vert <\vert z_0\vert$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
&\\

Rayon de convergence d'une série entière.&Disque ouvert de convergence ; intervalle ouvert de convergence.\\
La convergence est normale sur tout disque fermé de centre $0$ et de rayon
strictement inférieur à $R$ ; la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement
pour tout $z$ tel que $|z|>R$.
Si $a_n=O(b_n)$, $R_a\geqslant R_b$. Si $a_n\sim b_n$, $R_a=R_b$.&\\

Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont même rayon de convergence.&\\
Utilisation de la règle de d'Alembert.&\\

Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence.&
L'étude des propriétés de la somme au bord du disque ouvert de convergence n'est pas un objectif du programme. \\

Somme et produit de Cauchy de deux séries entières.&\\

\souscadre{b) Série entière d'une variable réelle}


Primitivation d'une série entière sur l'intervalle ouvert de convergence.
&\\
La somme d'une série entière est de classe $C^{\infty}$ sur l'intervalle ouvert de convergence et ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme.&\\

%Expression des coefficients d'une série entière de rayon de convergence strictement positif à l'aide des dérivées en $0$ de sa somme. &Si les fonctions $x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ et $x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$ coïncident sur un  voisinage de $0$, alors pour tout $n$, $a_n=b_n$.\\
\end{cadre}
\end{programme}

Les DSE des fonctions usuelles ne seront vus qu'en début de semaine.

\textbf{Semaine prochaine} : Séries entière ( suite). Probabilités.
\pagebreak

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Dénombrabilité de $\Z$, $\N^2$ (on peut se contenter d'une preuve graphique), $\Q$.
\item Non dénombrabilité de $\R$ et $\mathcal P(\N)$.
\item Une suite de réels positifs est sommable si et seulement il s'agit du terme général d'une série convergente.
\item Énoncé précis parmi les théorèmes au programme : sommation par paquets (avec des termes réels positifs ou non), commutativité des termes d'une somme d'une famille sommable, théorème de Fubini pour les séries doubles, produit de Cauchy.
\item Les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont même rayon de convergence. 

Effet des comparaisons asymptotiques ($\leqslant$, $o$, $O$, $\sim$) sur le rayon de convergence.
\item Convergence normale sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence. 
\item Somme de deux séries entières.
\item Produit de Cauchy de deux séries entières. 

Exemple le produit a un rayon de convergence strictement plus grand que le minimum des rayons de convergence des deux séries entières, pourtant différents.
\item \textbf{CCINP 15} : Soit $X$ une partie de $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $ .
\begin{enumerate}
\item
Soit $\displaystyle\sum f_n$ une série de fonctions définies sur $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.\\
Rappeler la définition de la convergence normale de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$, puis celle  de la convergence uniforme de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$.


\item Démontrer que toute s\'{e}rie de fonctions, à valeurs dans $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $, normalement convergente sur $X$ est uniform\'{e}ment convergente sur $X$. 


\item La s\'{e}rie de fonctions $\displaystyle\sum \dfrac{n^{2}}{n!}z^{n}$ est-elle uniform\'{e}ment convergente sur le disque ferm\'{e} de centre $0$ et de rayon $R\in \mathbb{R}_{+}^{\ast}$? 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 18} : On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $u_n (x) =\dfrac{ ( - 1)^n x^n } { n}$.
On considère la série de fonctions $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}u_n$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de cette série.

On note $D$ l'ensemble des $x$ où cette série converge et $S(x)$ la somme de cette série pour $x\in D$. 
\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur $D$. 
	\item La fonction $S$ est-elle continue sur $D$? 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 20} :  \begin{enumerate}
\item Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de la variable complexe.


\item Déterminer le rayon de convergence de chacune des s\'{e}ries enti\`{e}res suivantes:
\begin{multicols}3
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\sum \dfrac{\left(n!\right)^{2}}{\left(2n\right)!}z^{2n+1}$. 


\item  $\displaystyle\sum n^{\left( -1\right)^{n}} z^{n}$.

\item
$\displaystyle\sum \cos(n)z^{n}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 21} : \begin{enumerate}


\item  Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de la variable complexe.

\item
Soit $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite born\'{e}e telle que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum a_{n}$ diverge. Quel est le rayon de convergence de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$? Justifier. 

\item Quel est le rayon de convergence de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\displaystyle\sum \limits_{n\geqslant 1}^{}\left( \sqrt{n}\right)^{(-1)^n} \ln \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)  z^{n}$? 

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 23} : Soit $\left( a_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite complexe telle que la suite $\left( \dfrac{\left\vert a_{n+1}\right\vert }{\left\vert a_{n}\right\vert }\right) _{n\in \mathbb{N}}$ admet une limite.
\begin{enumerate}
\item 
Démontrer que les s\'{e}ries enti\`{e}res $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ et $\displaystyle\sum (n+1)a_{n+1}x^{n}$ ont le m\^{e}me rayon de convergence.

On le note $R$.

\item Démontrer que la fonction $x\longmapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}$ est de classe $\mathcal{C}^1$  sur l'intervalle $]-R,R[$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 
