\documentclass[9pt]{td}

\begin{document}

\colle{12}{13 au 17 décembre} 

\section*{Intégrales généralisées}

Reprise du programme précédent pour exercices.

On ajoute : 

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{Intégration des relations de comparaison}


Intégration des relations de comparaison : domination, négligeabilité, équivalence.&
La fonction de référence est positive.\\

\end{cadre}
\end{programme}
\section*{Passage à la limite sous l'intégrale}
\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{Passage à la limite sous l'intégrale}
Théorème de convergence dominée : soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\K$ convergeant simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux
et telle qu'il existe une fonction $\varphi$ positive intégrable sur $I$ vérifiant 
$|f_n|\leqslant \varphi$ pour tout $n$.
Alors~:
\[\int_I f_n\longrightarrow \int_I f.\]

&Démonstration hors programme.

L'hypothèse de continuité par morceaux de $f$, imposée par les limitations du programme, n'a pas l'importance de l'hypothèse de domination.
\\

Extension au cas d'une famille à paramètre réel $(f_{\lambda})_{\lambda\in J}$ où $J$ est un intervalle de $\R$. \\

Théorème d'intégration terme à terme :

Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$,
telle que la série $\displaystyle \sum f_n$ converge simplement vers une
fonction $f$ continue par morceaux sur $I$
et telle que la série $\displaystyle \sum \int_I \vert f_n(t) \vert \dd t$ converge, alors $f$ est intégrable sur $I$ et

\[
\int_I f(t) \dd t = \sum_{n=0}^{\infty} \int_I f_n(t) \dd t.
\]
&Démonstration hors programme.

L'hypothèse de continuité par morceaux de la somme, imposée par les limitations du programme, n'a pas l'importance de l'hypothèse de convergence de $\displaystyle{\sum\int_I |f_n|}$.\\[-10pt]

\end{cadre}
\end{programme}

Bien sûr, on connaît aussi les théorèmes d'inversion dans le cas où l'intervalle est un segment et qu'il y a convergence uniforme.

Exemple de limite par découpage de l'intégrale.
%\pagebreak

\section*{Intégrales à paramètres}

\begin{programme}
\begin{cadre}

\souscadre{Continuité d'une intégrale à paramètre}

Soit $A$  une partie \sout{d'un espace normé de dimension finie}, $I$ un intervalle de $\R$, $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\K$.
On suppose que $f$ est continue par rapport à la première variable, continue par morceaux par rapport à la seconde variable. On suppose de plus qu'il existe une fonction $\varphi$ positive intégrable sur $I$ 
telle que, pour tout $x$ de $A$, $|f(x,\cdot)|\leqslant \varphi$. Alors
\[g : x\mapsto \int_I f(x,t) \dd t\]
est définie et continue sur $A$.
&L'hypothèse de continuité par morceaux,
imposée par les limitations du programme, n'a pas l'importance de l'hypothèse de domination.

Extension au cas où l'hypothèse de domination est satisfaite au voisinage d'un point $a$ de $A$. Si $A$ est un intervalle de $\R$, extension au cas où l'hypothèse de domination est satisfaite sur tout segment de $A$.

$\dbf$ SI : transformée de Laplace.\\

\souscadre{Dérivation d'une intégrale à paramètre}

Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$, $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\K$.
On suppose que $f$  est  continue par morceaux par rapport à la seconde variable, que, pour tout $x$ de $J$, $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$, que $\frac{\partial f}{\partial x}$ est définie sur $J\times I$, continue par rapport à la première variable, continue par morceaux par rapport à la seconde variable. On suppose de plus qu'il existe une fonction $\varphi$ positive intégrable sur $I$ telle que, pour tout $x$ de $J$, $\abs{\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)}\leqslant \varphi$. Alors
\[g : x\mapsto \int_I f(x,t) \dd t\]
est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ et vérifie~:
\[\forall x\in J,\qquad g'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\; \dd t.\]

&Extension au cas où l'hypothèse de domination est satisfaite sur tout segment de $J$.


Classe $\mathcal{C}^k$ d'une intégrale à paramètre, sous hypothèse
d'intégrabilité de $\frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,\cdot)$
pour tout $x$ de $J$ si $0\leqslant j\leqslant k-1$ et domination
sur tout segment de  $\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,\cdot)$ .
\\


Exemples d'étude de fonctions définies comme intégrales : régularité, étude asymptotique.&$\dbf$ PC : transformée de Fourier.

$\dbf$ SI : théorème de la valeur initiale, théorème de la valeur finale.\\
\end{cadre}
\end{programme}

Pour le moment $A$ est une partie de $\R$.
 \bigskip
 
\textbf{Semaine prochaine} : Pas de colle car concours blanc.

Ensuite : Dénombrabilité, familles sommables, séries entières.
\bigskip


\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Énoncés précis parmi tous les théorèmes au programme.
\item Étude de l'intégrale semi-convergente $\dint 1{+\infty}{\dfrac{\sin t}t}t$ (convergence et non intégrabilité).
\item Intégrale de Bertrand sur $[2, +\infty[$.
\item Intégration des relations de comparaison : démonstration dans le cas de convergence (mais énoncé dans les deux cas).
\item Théorème de continuité sous le signe $\ds\int$. Énoncé du théorème de classe $\mathcal C^k$.
\item Théorème de classe $\mathcal C^1$ sous le signe $\ds\int$. 
\item $\Gamma:x\mapsto\ds\int_0^{+\infty}t^{x-1}\e^{-t}\dd t$ est de classe $\mathcal C^\infty$, expression des dérivées, convexité, limites en $0^+$ et $+\infty$, graphe. (On admet ici que $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, démontré dans \textbf{CCINP 29}).
\item \textbf{CCINP 19} : \begin{enumerate}

\item
 Prouver que, pour tout entier naturel $n$, $f_n: t\longmapsto t^n \ln t$ est intégrable sur  $\left]0,1 \right]  $ et calculer \linebreak$I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}t^n\ln t\mathrm dt$.
 
\item
Prouver que 
 $f:t\longmapsto \mathrm{e}^t\ln t$ est intégrable sur $\left]0,1 \right]  $ et que  $\displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^t\ln t\mathrm dt=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{nn!}$.\\
%\textbf{Indication}: utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle.\\
 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 25} :\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$ est int\'{e}grable sur $[0,+\infty[$.

\item Pour tout $n\in\N$,  pose $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{\text{d}t}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$. Calculer la limite de $\pare{u_{n}}$.

\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 26} :
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on pose $I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty } \dfrac{1}{\left( 1+t^{2}\right) ^n} \text{d}t$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $I_{n}$ est bien d\'{e}finie.
\item 
\begin{enumerate}
\item
\'Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in\N^*}$.
\item
 D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\in\N^*}$.
\end{enumerate}
\item La s\'{e}rie $\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}(-1)^n I_{n}$ est-elle convergente ?

\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 27} : Pour tout $n\in \N^*$, on pose\ $f_{n}\left( x\right) =\dfrac{e^{-x}}{%
1+n^{2}x^{2}}\ \ $et $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x$.

\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left( f_{n}\right)$  sur $[0,1]$.
\item
Soit $a\in\left] 0,1 \right[$.  La suite de  fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge-t-elle uniformément sur $\left[a,1 \right]$? 
\item
 La suite de  fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge-t-elle uniformément   sur $[0,1]$? 
\item Trouver la limite de la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \N^*}.$ 
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 28} : \emph{N.B. : les deux questions sont ind\'{e}pendantes.}

\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto \dfrac{e^{-x}}{\sqrt{x^{2}-4}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]2,+\infty[$? 
\item Soit $a$ un réel strictement positif.\\ La fonction $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]0,+\infty[$?
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 29} : On pose :  $\forall\:x\in ]0,+\infty[$, $\forall\:t\in \left] 0,+\infty\right[ $, 
$f(x,t)=\e^{-t}t^{x-1}$ .

\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $\forall \:x\in \left]0,+\infty \right[$,  la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $\left] 0,+\infty\right[ $.
 \bigskip

On pose alors: $\forall \:x\in]0,+\infty[$, $\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\e^{-t}t^{x-1}\text{d}t$.
\item Pour tout $x\in]0,+\infty[$, exprimer $\Gamma(x+1)$ en fonction de $\Gamma(x)$.

\item Démontrer que $\Gamma$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$  et exprimer $\Gamma~\!'(x)$ sous forme d'intégrale.
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 30} :
\begin{enumerate}
\item \'Enoncer le th\'{e}or\`{e}me de d\'{e}rivation sous le signe int\'{e}grale.

\item D\'{e}montrer que la fonction $f:x\longmapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}\cos \left( xt\right) \text{d}t$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$. 
\item 
\begin{enumerate}
\item Trouver une \'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire $\left(E\right)$ d'ordre $1$ dont $f$ est solution.
\item
 Résoudre $\left(E\right)$.\\
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 49} : Soit $\displaystyle\sum a_{n}$ une s\'{e}rie absolument convergente \`{a} termes
complexes. On pose $M=$ $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\left\vert
a_{n}\right\vert .$\\
 On pose : $ \forall n\in \N,\: \forall t\in \left[
0,+\infty \right[,\: f_{n}\left( t\right) =\dfrac{a_{n}t^{n}}{n!}
\mathrm{e}^{-t}.$\\
\begin{enumerate}

\item  
\begin{enumerate}
\item
Justifier que la suite $(a_n)$ est bornée.
\item
Justifier que la série de fonctions   $\sum\limits_{}^{ }f_{n}$ converge simplement sur $\left[ 0,+\infty \right[$.\\
\medskip
On admettra, pour la suite de l'exercice, que  $f$: $t\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }f_{n}(t)$ est continue sur $\left[ 0,+\infty \right[ .$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Justifier que, pour tout $n\in{\N}$, la fonction $g_n:t\mapsto t^n\e^{-t}$ est intégrable sur $\left[ 0,+\infty \right[$ et calculer $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }g_n(t)  \mathrm{d}t$.\\
En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\left\vert
f_{n}\left( t\right) \right\vert \, \mathrm{d}t$.

\item Prouver que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\left(
\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{a_{n}\,t^{n}}{n!}\,\mathrm{e}^{-t}\right) \mathrm{d}t=$ $
\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 50} :  On considère la fonction   $\;F : x \mapsto  \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\e^{-2\,t}}{x+t} \mathrm{d}t$.
\begin{enumerate}
\item
Prouver que  $F$ est définie et continue sur $\left]  0;+\infty\right[ $.
 \item 
Prouver que $x\longmapsto xF(x)$ admet une limite en $+\infty$ et déterminer la valeur de cette limite.

 \item
Déterminer un équivalent, au voisinage de $+\infty$,  de $F(x)$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 
