\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{11}{6 au 10 décembre} 

\section*{Intégration sur un segment et régularité des suites et séries de fonctions}

Reprise du début du chapitre  auquel on ajoute l'intégration sur un segment et la classe $\mathcal C^k$.

\tb{Dans ce chapitre, les fonctions sont définies sur une partie $A$ de $\R$ et à valeurs dans $\K=\R$ ou $\C$.}

\begin{cadre}
\souscadre{Convergence simple, convergence uniforme}

Convergence simple sur $A$.\\

Convergence uniforme sur $A$. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.&Pour des fonctions bornées, interprétation de la convergence uniforme sur $A$ en termes de norme.\\

\souscadre{Continuité, double limite }

Si les $u_n$ sont continues en $a$ et si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur un voisinage de $a$, alors $u$ est continue en $a$.&\\

Toute limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$.&
Adaptation au cas où la convergence est uniforme au voisinage de tout point de $A$.
\\

Théorème de la double limite : soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$, et soit $a$  un point adhérent à $A$ ; si, pour tout $n$, $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$, alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$  et~
\[u(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell.\]

&Démonstration non exigible.

Adaptation, si $A\subset\R$, aux cas où $a=+\infty$ et $a=-\infty$.
\\

\souscadre{Intégration d'une limite uniforme sur un segment}

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues définies sur l'intervalle
$I$ de $\R$ et à valeurs  dans $F$, $a$ un point de $I$. On suppose que $(u_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $u$. 
Pour $n\in\N$ et $x\in I$ soit
\[U_n(x)=\int_a^x u_n,\quad U(x)=\int_a^x u.\]
Alors $(U_n)$ converge uniformément vers $U$ sur tout segment de $I$.
&En particulier, si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur le segment $S$, alors~:
$$\int_S u_n\rightarrow \int_S u.$$\\

\souscadre{Dérivation d'une suite de fonctions}

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$
sur un intervalle $I$ de $\R$, à valeurs  dans $F$. Si $(u_n)$
converge simplement sur $I$ vers une fonction $u$, et si $(u_n')$
converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $v$, alors $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $I$, $u$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $u'=v$.&
Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$, sous l'hypothèse de convergence simple de
$(u_n^{(j)})$ pour $0\leqslant j\leqslant k-1$ et
de convergence uniforme de $(u_n^{(k)})$
sur tout segment de $I$.\\
e uniforme de fonctions polynomiales.&Démonstration non exigible.\\
\souscadre{Séries de fonctions}
\medskip

Convergence simple, convergence uniforme.&\medskip

Ces notions sont définies via la suite des sommes partielles.\\

Une série de fonctions converge uniformément  si et seulement si elle converge simplement et la suite de ses restes converge uniformément vers $0$.&\\

Adaptation au cas des séries de fonctions des résultats des paragraphes ci-dessus.&\\

Convergence normale d'une série de fonctions. La convergence normale implique la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point.&

Les étudiants doivent savoir étudier la somme d'une série de fonctions (régularité, étude asymptotique, utilisation de la comparaison série-intégrale).
\end{cadre}

\section*{Intégrales généralisées}

\tb{Les fonctions sont à valeurs dans $\K$, corps des réels ou des complexes.}

\begin{cadre}


\souscadre{a) Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ }

Pour $f$ continue par morceaux de $[a,+\infty[$ dans $\K$, l'intégrale $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}$ est dite convergente si
la fonction $x\mapsto\displaystyle{\int_a^x f}$ a une limite finie
en $+\infty$. Si tel est le cas, on note $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}$
cette limite.
&Notations $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}, \displaystyle{\int_a^{+\infty} f(t)\; \d t}.$\\

Linéarité de l'intégrale sur $[a,+\infty[$, positivité. Dérivation
de $x\mapsto \displaystyle{\int_x^{+\infty} f}$ si $f$ est continue.&\\


\souscadre{b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$}

Une fonction $f$ est dite intégrable sur $[a,+\infty[$ si
 $\displaystyle{\int_a^{+\infty}|f|}$
converge.
& On utilise indifféremment les expressions \og $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$
\fg, et \og l'intégrale $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}$ converge
absolument\fg.\\

Si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$, alors $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}$ converge.&
L'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme.
\\


\souscadre{c) Intégration des fonctions positives sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$}

Si $f$ est positive sur $[a,+\infty\mathclose[$, l'intégrale $\displaystyle{\int_a^{+\infty} f}$ converge si et seulement si $x\mapsto \displaystyle{\int_a^x f}$ est majorée.\\


Pour $\alpha$ dans $\R$, étude de l'intégrabilité de $x\mapsto \frac{1}{x^{\alpha}}$ sur $[1,+\infty[$.&\\

Pour $f$ et $g$ deux fonctions réelles positives continues par morceaux sur $[a,+\infty\mathclose[$ :
\begin{itemize}
\item
si $0\leqslant f\leqslant g$,
l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty\mathclose[$ implique celle de $f$;
\item
si $f(x)\underset{x\rightarrow +\infty} =O\left(g(x)\right)$, l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty\mathclose[$ implique celle de $f$;
\item
si $f(x)\underset{x\rightarrow +\infty} \sim g(x)$,
l'intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty\mathclose[$ équivaut à celle de $f$.
\end{itemize}
&\\
\souscadre{d) Intégration sur un intervalle quelconque}

Adaptation des paragraphes précédents aux fonctions définies
sur un intervalle semi-ouvert de $\R$.&Notations $\displaystyle{\int_a^b f, \int_a^b f(t)\d t}.$


 On utilise indifféremment les expressions \og $f$ est intégrable sur $[a,b[$
\fg, et \og l'intégrale $\displaystyle{\int_a^b f}$  converge
absolument\fg.\\

Pour $\alpha$ dans $\R$, étude de l'intégrabilité de $x\mapsto \frac{1}{(x-a)^{\alpha}}$
sur $\mathopen]a,b\mathclose]$, de l'intégrabilité de $x\mapsto \frac{1}{|x-a|^{\alpha}}$
sur $[b,a[$. &\\

Adaptation des paragraphes précédents aux fonctions définies sur un intervalle ouvert $\mathopen]a,b\mathclose[$ de $\R$, $(a,b)\in {\overline{\R}}^2$.& Notations $\displaystyle{\int_a^b f,  \int_a^b f(t) \d t}.$
\\
Si $I$ est un intervalle de $\R$, linéarité et positivité de l'application
$f\mapsto \displaystyle{\int_I f}$ sur l'espace des fonctions de $I$ dans $\K$ dont l'intégrale converge.

Relation de Chasles.
&Notation $\displaystyle{\int_I f}.$\\



Espace des fonctions intégrables de $I$ dans $E$.

Inégalité triangulaire.

Si $f$ est continue et intégrable sur $I$, à valeurs dans $\R^+$
et si $\displaystyle{\int_I f}=0$, alors $f$ est identiquement nulle.&\\


Changement de variable :
étant données une fonction $f$ continue sur $\mathopen]a,b\mathclose[$
et une fonction $\varphi\ :\ \mathopen]\alpha,\beta\mathclose[\to \mathopen]a,b\mathclose[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathcal{C}^1$, les intégrales $\displaystyle \int_a^b f(t) \d t$
et $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f \bigl( \varphi(u) \bigr)\, \varphi'(u) \d u$ sont de même nature et égales en cas de convergence.
&Adaptation au cas où $\varphi$ est strictement décroissante.

Les étudiants peuvent appliquer ce résultat sans justification dans des cas de changements de variable simples (fonctions affines, puissances, exponentielle, logarithme).\\

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :

$\displaystyle\int_a^b f(t)g'(t)\d t=[fg]_a^b-\displaystyle\int_a^b f'(t)g(t)\d t.$ &
L'existence des limites du produit $fg$ aux bornes de l'intervalle assure que les intégrales de $fg'$ et $f'g$ sont de même nature. Notation $\left[fg\right]_a^b$.\\
\end{cadre}

{\bf Pas d'intégration des relations de comparaison cette semaine. 

Pas d'intégration par parties sur des intervalles quelconques : on revient systématiquement sur un segment.

Peu d'exercices auront été traités sur les intégrales généralisées en début de semaine.

Pas de convergence dominée au programme cette semaine.}
\bigskip

\textbf{Semaine prochaine} : Convergence dominée, intégrales à paramètres.

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Énoncés précis des théorèmes d'intégration sur un segment, primitive, classe $\mathcal C^k$ d'une suite de fonction ou d'une série de fonctions, au choix du colleur.

Démonstration dans le cas des primitives pour les suites de fonctions.
\item Fonction $\zeta$ de Riemann : classe $\mathcal C^\infty$, expression des dérivées, variations, convexité, limite aux bornes et graphe.
\item Exemple de fonction intégrable au voisinage de $+\infty$, ne tendant pas vers $0$, voiire non bornée.
\item Si $f$ est intégrable sur $[a, +\infty[$, alors $\dint a{+\infty}{f(t)}t$ converge (cas réel ou complexe).
\item Étude de l'intégrale semi-convergente $\dint \pi{+\infty}{\dfrac{\sin t}t}t$ (convergence et non intégrabilité).
\item Intégrales de Bertrand sur $[2, +\infty[$.
\item \textbf{CCINP 8} :
\begin{enumerate}
\item 
Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $une suite d\'{e}croissante positive de limite nulle.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$ est convergente.

\textbf{Indication}: on pourra consid\'{e}rer $\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ avec $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\end{enumerate}
\item 
On pose : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)=\dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.
\begin{enumerate}

\item \'Etudier la convergence simple sur $\mathbb{R}$  de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$.
\item
\'Etudier la convergence uniforme sur $\left[ 0,+\infty\right[ $  de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 9} : 
\begin{enumerate}
\item 
 Soit $X$ un ensemble, $\left( g_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ et $g$ une fonction de $X$ dans $\mathbb{C}$.
 
Donner la définition de la convergence uniforme sur $X$ de la suite de fonctions $\left(g_n\right)$ vers la fonction $g$.
  \item   
On pose $f_{n}(x) =\dfrac{n+2}{n+1}\mathrm{e}^{-n x^{2}}\cos \left( \sqrt{n}x\right) $.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $.
\item     La suite de fonctions  $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0,+\infty\right[$ ?

\item Soit $a>0$. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur  $[a,+\infty[$ ?	

\item La suite de fonctions  $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur $]0,+\infty[$? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 10} : On pose $f_{n}\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) \dfrac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite de fonctions $\left( f_{n}\right) $ converge uniform\'{e}ment sur $[0,1]$.
\item Calculer la limite lorsque $n\rightarrow +\infty$ de $\displaystyle\int_{0}^{1}\left( x^{2}+1\right) \dfrac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}\text{d}x$.
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 11} : \begin{enumerate}
\item Soit $X$ une partie de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction $f$.

On suppose qu'il existe une suite $\left( x_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ d'\'{e}l\'{e}ments de $X$ telle que la suite $\left( f_{n}(x_{n})-f\left( x_{n}\right) \right) _{n\in \mathbb{N}}$ ne tende pas vers $0$. 

D\'{e}montrer que la suite de fonctions $\left( f_{n}\right)$ ne converge pas uniform\'{e}ment vers $f$ sur $X$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose $f_{n}(x) =\dfrac{\sin \left( nx\right) }{1+n^{2}x^{2}}$. 
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence simple de la suite $\left( f_{n}\right)$. 
	\item \'Etudier la convergence uniforme de la suite $\left( f_{n}\right)$ sur $[a,+\infty[$ (avec $a>0$),  puis sur $]0,+\infty[$.
	 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 12} : \begin{enumerate}
\item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

On suppose que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$, et que, pour tout  $n\in\mathbb{N}$, $f_n$ est continue en $x_0$, avec $x_0\in[a,b]$.

Démontrer que $f$ est continue en $x_0$. 

\item On pose : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in[0;1]$, $g_n(x)=x^n$.\\
 La suite de fonctions $(g_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge-t-elle uniformément sur $[0;1]$? 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 14} :\begin{enumerate}
\item
Soit $a$ et $b$ deux réels donnés avec $a<b$.\\
  Soit $\left( f_{n}\right) $\ une suite de fonctions continues sur $[a,b],$ \`{a} valeurs r\'{e}elles. \\
Démontrer que si la suite $\left( f_{n}\right)$ converge uniform\'{e}ment sur $\left[ a,b\right] $ vers $f$, alors la suite \linebreak $\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f_{n}\left( x\right)\text{d}x\right)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right) \text{d}x$. 


\item Justifier comment ce r\'{e}sultat peut \^{e}tre utilis\'{e} dans le cas des s\'{e}ries de fonctions. 

\item
D\'{e}montrer que
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\right) \text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n2^{n}}~.$ 
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 15} : Soit $X$ une partie de $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $ .
\begin{enumerate}
\item
Soit $\displaystyle\sum f_n$ une série de fonctions définies sur $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.\\
Rappeler la définition de la convergence normale de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$, puis celle  de la convergence uniforme de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$.


\item Démontrer que toute s\'{e}rie de fonctions, à valeurs dans $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $, normalement convergente sur $X$ est uniform\'{e}ment convergente sur $X$. 


\item La s\'{e}rie de fonctions $\displaystyle\sum \dfrac{n^{2}}{n!}z^{n}$ est-elle uniform\'{e}ment convergente sur le disque ferm\'{e} de centre $0$ et de rayon $R\in \mathbb{R}_{+}^{\ast}$? 

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 16} : On consid\`{e}re la s\'{e}rie de fonctions de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ d\'{e}finie par: 
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall x\in \lbrack 0,1], \ \ u_{n}\left(x\right) =\ln \left( 1+\dfrac{x}{n}\right) -\dfrac{x}{n}~.
\end{equation*}

On pose, lorsque la s\'{e}rie converge, $S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left[ \ \ln \left( 1+\dfrac{x}{n}\right) -\dfrac{x}{n}\right]$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $S$ est dérivable sur $[0,1]$. 

\item Calculer $S'(1)$. 


\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 17} : Soit $A\subset \mathbb{C}$ et $\left( f_{n}\right)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb{C}$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer l'implication:
	\begin{eqnarray*}
	& \left( \text{la s\'{e}rie de fonctions }\displaystyle\sum f_{n}\ \text{converge uniform\'{e}ment sur $A$}\right)& \\
	&\Downarrow &\\
	&\left( \text{la suite de fonctions\ }\left( f_{n}\right) \ \text{converge uniform\'{e}ment vers 0 sur $A$}\right)&
	\end{eqnarray*} 

\item
On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $\forall\:x\in\left[ 0;+\infty\right[ $, $f_n(x)=nx^2\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}}$.\\
Prouver que $\displaystyle\sum f_n$ converge simplement sur $\left[ 0;+\infty\right[$. 
\\
 $\displaystyle\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0;+\infty\right[$? Justifier. 

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 18} : On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $u_n (x) =\dfrac{ ( - 1)^n x^n } { n}$.
On considère la série de fonctions $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}u_n$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de cette série.


On note $D$ l'ensemble des $x$ où cette série converge et $S(x)$ la somme de cette série pour $x\in D$. 

\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur $D$. \\

	\item La fonction $S$ est-elle continue sur $D$? 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 25} : \begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$ est int\'{e}grable sur $[0,+\infty[$.

\item (5/2) : Pour tout $n\in\mathbb{N}$,  pose $u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{\text{d}t}{1+t^{2}+t^{n}e^{-t}}$. Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 28} : \emph{N.B. : les deux questions sont ind\'{e}pendantes.}

\begin{enumerate}
\item La fonction $x\longmapsto \dfrac{e^{-x}}{\sqrt{x^{2}-4}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]2,+\infty[$? 
\item Soit $a$ un réel strictement positif.\\ La fonction $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle int\'{e}grable sur $]0,+\infty[$?
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 53} : On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=\dfrac{x}{1+n^4x^4}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Prouver que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$  converge simplement sur $\mathbb{R}$.\\
On pose alors :  $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$.
\item
Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $0<a<b$.\\
$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$ converge-t-elle normalement sur $\left[a,b \right]$? sur $\left[ a,+\infty\right[$?  

\item
$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$ converge-t-elle normalement sur $\left[ 0,+\infty\right[ $?
\end{enumerate}
\item
Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
\item
Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}^{}f(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 
