\documentclass[10pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{4}{15 au 19 novembre}

\section*{Réduction (1ère partie)}

Extrait du programme officiel.
\medskip
\tb{On se limite en pratique au cas où le corps de base $\K$ est $\:\R$
ou $\:\C$.}



\begin{cadre}

\souscadre{a) Généralités}


Matrices semblables, interprétation géométrique.
&Les étudiants doivent savoir utiliser l'endomorphisme canoniquement associé à une matrice carrée.\\

Sous-espace stable par un endomorphisme.
Endomorphisme induit.&En dimension finie, traduction de la stabilité d'un sous-espace $F$ par un endomorphisme $u$ à l'aide de la matrice de $u$ dans une base adaptée à $F$.\\

\souscadre{b) Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée}

Droite stable par un endomorphisme.

Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre.&
$\dbf$ SI : matrice d'inductance : inductance cyclique et inductance homopolaire.\\

Le spectre d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est l'ensemble de ses valeurs propres.

&La notion de valeur spectrale est hors programme.\\

La somme d'une famille finie de sous-espaces propres  est directe.& Toute famille de vecteurs propres  associés à des valeurs propres distinctes est libre.\\

Le spectre d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie $n$
est fini, et de cardinal au plus $n$.&\\

Si deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$.&\\

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et spectre d'une matrice carrée.&Équation aux éléments propres $MX=\lambda X$.

Deux matrices semblables ont même spectre.

Si $\K$ est un sous-corps de $\K'$ et si $M\in {\cal M}_n(\K)$, le spectre
de $M$
dans $\K$ est contenu dans le spectre de $M$ dans $\K'$.\\

\souscadre{c) Polynôme caractéristique}

Polynôme caractéristique d'une matrice carrée, d'un endomorphisme
d'un espace vectoriel de dimension finie.
&Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

Le polynôme caractéristique est unitaire.


Notations $\chi_u, \chi_A.$


Les étudiants doivent connaître les valeurs des coefficients  de degrés $0$ et $n-1$.\\

Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres. Multiplicité d'une valeur propre.&La dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est majorée par la multiplicité de $\lambda$.
\\

Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire.\\

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit.&\\

\souscadre{d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables}

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est dit diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale.&Une telle base est constituée de vecteurs propres.\\
 Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit que
la somme de ses sous-espaces propres soit  égale à $E$.
& Cas des projecteurs, des symétries.
\\

Une matrice carrée est dite diagonalisable si
l'endomorphisme de $\K^n$ canoniquement associé est diagonalisable.
&\\
Pour qu'une matrice carrée soit diagonalisable, il faut et il suffit
qu'elle soit semblable à une matrice diagonale.&
Dans la pratique des cas numériques, on se limite à  $n=2$ ou $n=3$.\\

Cas d'un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. & Traduction matricielle.\\

Pour qu'un endomorphisme $u$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que
 $\chi_u$ soit scindé et que, pour toute valeur propre de $u$, la dimension de l'espace propre associé soit
égale à sa multiplicité.&Traduction matricielle.\\
\end{cadre}
%\medskip

Le théorème de Cayley-Hamilton est énoncé, non démontré, mais aucune notion de réduction concernant les polynômes annulateur, ni de trigonalisation n'est au programme cette semaine.

%\emph{Semaine prochaine :} Réduction (suite et fin).
\pagebreak
\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Déterminant triangulaire par blocs (en utilisant le fait que les formes $n$-linéaires alternées en dimension $n$ forment un espace de dimension 1).
\item Les sous-espaces propres sont en somme directe.
\item Si deux endomorphismes commutent, l'image, le noyau et plus généralement les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
\item Définitions, caractérisations (5 pour les endomorphismes + 2 pour les matrices) et conditions suffisantes (2) de la diagonalisabilité d'un endomorphisme ou d'une matrice. Démonstration·s choisie·s par le colleur.
\item CNS sur la représentation par bloc d'un endomorphisme dans une base adaptée pour qu'un sous-espace soit stable. 

Polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit sur un sous-espace stable.

Pour toute valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre.
\item Polynôme caractéristique : degré, c\oe{}fficients de degré $n$, $n-1$ et $0$.
\item \textbf{CCINP 83} :
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$.

\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un réel non nul. Prouver que si $\lambda$ est valeur propre de $u\circ v$, alors $\lambda$ est valeur propre de $v\circ u$.\\

\item On considère, sur $E=\mathbb{R}\left[ X\right] $ les endomorphismes $u$ et $v$ définis par 
$u$:\:$P\longmapsto \displaystyle\int_{1}^{X}P $ et $v$:\:$P\longmapsto P'$ .\\
Déterminer $ \mathrm{Ker} (u\circ v)$ et $\mathrm{Ker} (v\circ u)$.
Le résultat de la question 1. reste-t-il vrai pour $\lambda=0$?
\item 
Si $E$ est de dimension finie, démontrer que le résultat de la première question reste vrai pour $\lambda=0$.\\
\textbf{Indication }: penser à utiliser le déterminant.

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 72} :
Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, et soit $e=\left( e_1,\ldots,e_n\right) $ une base de $E$.

On suppose que  $f(e_1)=f(e_2)=\cdots=f(e_n)=v$, où $v$ est un vecteur donné de $E$.
\begin{enumerate}
\item 
Donner le rang de $f$.

\item 
$f$ est-il diagonalisable? (discuter en fonction du vecteur $v$) 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 67} :
Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}
0 & a & c \\ 
b & 0 & c \\ 
b & -a & 0
\end{pmatrix}$ o\`{u} $a,b,c$ sont des r\'{e}els.


 $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)$?
 $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{C}\right)$?

\item \textbf{CCINP 59} :
Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geqslant 2$.\\
Soit $E$ l'espace vectoriel des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$.\\
On pose : $\forall\:P\in E$,  $f\left( P\right)=P-P^{\prime }$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $f$ est bijectif de deux mani\`{e}res:
	\begin{enumerate}
	\item sans utiliser de matrice de $f$,  
	\item en utilisant une matrice de $f$.  
	\end{enumerate}
	
\item Soit $Q\in E.$ Trouver $P$ tel que $f\left( P\right) =Q$~.

\textbf{Indication }: si $P\in E$, quel est le polyn\^{o}me $P^{\left(n+1\right) }$? 
\item
$f$ est-il diagonalisable?

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 69} :
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&a&1\\
a&0&1\\
a&1&0
\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer le rang de $A$.
\item
Pour quelles valeurs de $a$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable? 
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document} 
