\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{5}{11 au 15 octobre} 

\section{Suites et séries de fonctions numériques d'une variable réelle}

Les fonctions sont définies sur une partie de $\R$, à valeurs dans $\K=\R$ ou $\C$.

\begin{cadre}

\souscadre{a) Convergence simple, convergence uniforme}

Convergence simple sur $A$.\\

Convergence uniforme sur $A$. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.&Pour des fonctions bornées, interprétation de la convergence uniforme sur $A$ en termes de norme.\\

\souscadre{b) Continuité, double limite }

Si les $u_n$ sont continues en $a$ et si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur un voisinage de $a$, alors $u$ est continue en $a$.&\\

Toute limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$.&
Adaptation au cas où la convergence est uniforme au voisinage de tout point de $A$.
\\

Théorème de la double limite : soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$, et soit $a$  un point adhérent à $A$ ; si, pour tout $n$, $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$, alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$  et~
\[u(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell.\]

&Démonstration non exigible.

Adaptation, si $A\subset\R$, aux cas où $a=+\infty$ et $a=-\infty$.

\souscadre{e) Approximation uniforme}

Approximation uniforme d'une fonction continue par morceaux sur un segment
par des fonctions en escalier.&\\

Théorème de Weierstrass :

toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme de fonctions polynomiales.&Démonstration non exigible.\\

\souscadre{f) Séries de fonctions}

Convergence simple, convergence uniforme.&\medskip

Ces notions sont définies via la suite des sommes partielles.\\

Une série de fonctions converge uniformément  si et seulement si elle converge simplement et la suite de ses restes converge uniformément vers $0$.&\\

Adaptation au cas des séries de fonctions des résultats des paragraphes b), c)
et d)\footnote{Continuité, limite.} ci-dessus.&\\

Convergence normale d'une série de fonctions. La convergence normale implique la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point.&

Les étudiants doivent savoir étudier la somme d'une série de fonctions (régularité, étude asymptotique, utilisation de la comparaison série-intégrale).
\end{cadre}

On introduit la notion de norme uniquement pour manipuler la norme $\infty$ pour le moment.

L'intégration et la dérivation des suites et séries de fonctions seront traitées plus tard.

Le théorème d'approximation uniforme par des fonctions en escalier n'a pas encore été démontré.

\section{Calcul matriciel}
Révisions complètes du programme de première année. Voir page suivante.
\bigskip

\textbf{Semaine prochaine} : Révisions de continuité, polynômes, déterminants.
\pagebreak

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$.
\item Une limite uniforme de fonctions polynomiales sur un intervalle non borné est une fonction polynomiale.
\item Tout énoncé de théorème concernant les séries de fonctions avec \textbf{hypothèses très précises} (caractère borné, continuité locale ou globale, limite).

Définition et implications entre les différents modes de convergence (simple, uniforme, absolue, normale).
\item Fonction $\zeta$ de Riemann : définition, convergence simple, normale, variations, limites en $1$ et $+\infty$, équivalent en $1$, absence de convergence uniforme au voisinage de 1, tracé.

\item \textbf{CCINP 8} :
\begin{enumerate}
\item 
Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $une suite d\'{e}croissante positive de limite nulle.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$ est convergente.

\textbf{Indication}: on pourra consid\'{e}rer $\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ avec $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\end{enumerate}
\item 
On pose : $\forall \:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)=\dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.
\begin{enumerate}

\item \'Etudier la convergence simple sur $\mathbb{R}$  de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$.
\item
\'Etudier la convergence uniforme sur $\left[ 0,+\infty\right[ $  de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{}f_n$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 15} : Soit $X$ une partie de $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $ .
\begin{enumerate}
\item
Soit $\displaystyle\sum f_n$ une série de fonctions définies sur $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.\\
Rappeler la définition de la convergence normale de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$, puis celle  de la convergence uniforme de $\displaystyle\sum f_n$ sur $X$.


\item Démontrer que toute s\'{e}rie de fonctions, à valeurs dans $\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C} $, normalement convergente sur $X$ est uniform\'{e}ment convergente sur $X$. 


\item La s\'{e}rie de fonctions $\displaystyle\sum \dfrac{n^{2}}{n!}z^{n}$ est-elle uniform\'{e}ment convergente sur le disque ferm\'{e} de centre $0$ et de rayon $R\in \mathbb{R}_{+}^{\ast}$? 

\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 17} : Soit $A\subset \mathbb{C}$ et $\left( f_{n}\right)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb{C}$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer l'implication:
	\begin{eqnarray*}
	& \left( \text{la s\'{e}rie de fonctions }\displaystyle\sum f_{n}\ \text{converge uniform\'{e}ment sur $A$}\right)& \\
	&\Downarrow &\\
	&\left( \text{la suite de fonctions\ }\left( f_{n}\right) \ \text{converge uniform\'{e}ment vers 0 sur $A$}\right)&
	\end{eqnarray*} 

\item
On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}$, $\forall\:x\in\left[ 0;+\infty\right[ $, $f_n(x)=nx^2\mathrm{e}^{-x\sqrt{n}}$.\\
Prouver que $\displaystyle\sum f_n$ converge simplement sur $\left[ 0;+\infty\right[$. 
\\
 $\displaystyle\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0;+\infty\right[$? Justifier. 

\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 18} : On pose: $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in\mathbb{R}$, $u_n (x) =\dfrac{ ( - 1)^n x^n } { n}$.
On considère la série de fonctions $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}^{}u_n$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de cette série.


On note $D$ l'ensemble des $x$ où cette série converge et $S(x)$ la somme de cette série pour $x\in D$. 

\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur $D$. \\

	\item La fonction $S$ est-elle continue sur $D$? 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 53} : On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=\dfrac{x}{1+n^4x^4}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Prouver que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$  converge simplement sur $\mathbb{R}$.\\
On pose alors :  $\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$.
\item
Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ avec $0<a<b$.\\
$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$ converge-t-elle normalement sur $\left[a,b \right]$? sur $\left[ a,+\infty\right[$?  

\item
$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}^{}f_n$ converge-t-elle normalement sur $\left[ 0,+\infty\right[ $?
\end{enumerate}
\item
Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
\item
Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}^{}f(x)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 59} : Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geqslant 2$.\\
Soit $E$ l'espace vectoriel des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$. On pose $\forall\:P\in E$,  $f\left( P\right)=P-P^{\prime }$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $f$ est bijectif de deux mani\`{e}res :
	\begin{enumerate}
	\item sans utiliser de matrice de $f$,  
	\item en utilisant une matrice de $f$.  
	\end{enumerate}
	
\item Soit $Q\in E.$ Trouver $P$ tel que $f\left( P\right) =Q$.

\textbf{Indication }: si $P\in E$, quel est le polyn\^{o}me $P^{\left(n+1\right) }$? 
\item (5/2)$f$ est-il diagonalisable?

\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 71} : Soit  $P$ le plan d'équation $x+y+z=0$ et  $D$ la droite d'équation $x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$.
\begin{enumerate}
\item
Vérifier que $\mathbb{R}^3=P\oplus D$.
\item
Soit $p$ la projection vectorielle de  $\mathbb{R}^3$ sur  $P$  parallèlement à  $D$.
Soit $u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$.

Déterminer $p(u)$ et donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
\item
Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est diagonale.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak

\section{Révisions de MPSI}

\subsection{Calcul matriciel}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Espaces de matrices}
Espace vectoriel $\mathcal{M}_{n,p} (\K)$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\K$. & \\
Base canonique de $\mathcal{M}_{n,p} (\K)$. & Dimension de $\mathcal{M}_{n,p} (\K)$.\\

\souscadre{b) Produit matriciel}
Bilinéarité, associativité. &\\
Produit d'une matrice de la base canonique de $\mathcal{M}_{n,p} (\K)$ par une matrice de la base canonique de $\mathcal{M}_{p,q} (\K)$. &\\
Anneau $\mathcal{M}_n (\K)$. & Non commutativité si $n \geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro et de matrices nilpotentes.\\

Formule du binôme. &Application au calcul de puissances.\\
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. & Notation $\mbox{GL}_n (\K)$.\\
Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. &\\

\souscadre{c) Transposition}
Transposée d'une matrice. & Notations ${}^t \! \! A$, $A^\mathrm{T}$.\\
Opérations sur les transposées : combinaison linéaire, produit, inverse. &\\
\end{cadre}

\subsection{Matrices et applications linéaires}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Matrice d'une application linéaire dans des bases}
Matrice d'une famille de vecteurs dans une base, d'une application linéaire dans un couple de bases. & Notation $\mbox{Mat}_{e, f} (u)$.

  Isomorphisme $u \mapsto \mbox{Mat}_{e, f} (u)$.\\
Coordonnées de l'image d'un vecteur par une application linéaire. & \\
Matrice d'une composée d'applications linéaires. Lien entre matrices inversibles et isomorphismes. & Cas particulier des endomorphismes.\\

\souscadre{b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice}
Noyau, image et rang d'une matrice. & Les colonnes engendrent l'image, les lignes donnent un système d'équations du noyau.

  Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul.\\
Condition d'inversibilité d'une matrice triangulaire. L'inverse d'une matrice triangulaire est une matrice triangulaire. &\\

\souscadre{d) Blocs}
Matrice par blocs. & Interprétation géométrique.\\
Théorème du produit par blocs. & La démonstration n'est pas exigible.\\
\end{cadre}
\pagebreak

\subsection{Changements de bases, équivalence et similitude}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Changements de bases}
Matrice de passage d'une base à une autre. & La matrice de passage $P_e^{e'}$ de $e$ à $e'$ est la matrice de la famille $e'$ dans la \hbox{base $e$.}

  Inversibilité et inverse de $P_e^{e'}$.\\
Effet d'un changement de base sur les coordonnées d'un vecteur, sur la matrice d'une application linéaire. & \\

\souscadre{b) Matrices équivalentes et rang}
Si $u \in \mathcal{L} (E , F)$ est de rang $r$, il existe une base $e$ de $E$ et une base $f$ de $F$ telles que : $\quad \mbox{Mat}_{e, f} (u) = J_r$. & La matrice $J_r$ a tous ses coefficients nuls à l'exception des $r$ premiers coefficients diagonaux, égaux à 1.\\
Matrices équivalentes. & Interprétation géométrique.\\
Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à $J_r$. & Classification des matrices équivalentes par le rang.\\
Invariance du rang par transposition. &\\
Rang d'une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites. &\\

\souscadre{c) Matrices semblables et trace}
Matrices semblables. & Interprétation géométrique.\\

Trace d'une matrice carrée.& \\
Linéarité de la trace, relation $\mbox{tr} (AB)~=~\mbox{tr} (BA)$, invariance par similitude. & Notations $\mbox{tr} (A)$, $\mbox{Tr} (A)$.\\
Trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie. Linéarité, relation $\mbox{tr} (uv) = \mbox{tr} (vu)$. & Notations $\mbox{tr} (u)$, $\mbox{Tr} (u)$.

  Trace d'un projecteur.\\
\end{cadre}

\subsection{Opérations élémentaires et systèmes linéaires}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Opérations élémentaires}
Interprétation en termes de produit matriciel. & Les opérations élémentaires sont décrites dans le paragraphe <<~Systèmes linéaires~>> du chapitre <<~Calculs algébriques~>>.\\
Les opérations élémentaires sur les colonnes (resp. lignes) conservent l'image (resp. le noyau). Les opérations élémentaires conservent le rang. & Application au calcul du rang et à l'inversion de matrices. \\

\souscadre{b) Systèmes linéaires}
\'Ecriture matricielle d'un système linéaire. & Interprétation géométrique : intersection d'hyperplans affines.\\
Système homogène associé. Rang, dimension de l'espace des solutions. &\\
Compatibilité d'un système linéaire. Structure affine de l'espace des solutions. &\\
Le système carré $Ax = b$ d'inconnue $x$ possède une et une seule solution si et seulement si $A$ est inversible. Système de Cramer. & Le théorème de Rouché-Fontené et les matrices bordantes sont hors programme.\\
\S\  Algorithme du pivot de Gauss. &\\
\end{cadre}
\end{document} 
