\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{4}{4 au 8 octobre} 

\section{Espaces vectoriels, applications linéaires}

Révisions complètes du cours d'algèbre linéaire de MPSI concernant les espaces vectoriels et les applications linéaires.

\section{Suites de fonctions numériques d'une variable réelle}

Les fonctions sont définies sur une partie de $\R$, à valeurs dans $\K=\R$ ou $\C$.

\begin{cadre}

\souscadre{a) Convergence simple, convergence uniforme}

Convergence simple sur $A$.\\

Convergence uniforme sur $A$. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.&Pour des fonctions bornées, interprétation de la convergence uniforme sur $A$ en termes de norme.\\

\souscadre{b) Continuité, double limite }

Si les $u_n$ sont continues en $a$ et si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur un voisinage de $a$, alors $u$ est continue en $a$.&\\

Toute limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$.&
Adaptation au cas où la convergence est uniforme au voisinage de tout point de $A$.
\\

Théorème de la double limite : soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$, et soit $a$  un point adhérent à $A$ ; si, pour tout $n$, $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$, alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$  et~
\[u(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell.\]

&Démonstration non exigible.

Adaptation, si $A\subset\R$, aux cas où $a=+\infty$ et $a=-\infty$.
\end{cadre}

On introduit la notion de norme uniquement pour manipuler la norme $\infty$ pour le moment.

L'intégration et la dérivation des suites de fonctions seront traitées plus tard.

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Théorème du rang.
\item Formule de Grassmann : deux démontrations avec des supplémentaires et avec des applications linéaires.
\item La norme $\infty$ sur un espace de fonctions bornées est une norme.
\item Transfert du caractère borné et de la continuité par uniforme convergence.
\item \textbf{CCINP 9} : 
\begin{enumerate}
\item 
 Soit $X$ un ensemble, $\left( g_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ et $g$ une fonction de $X$ dans $\mathbb{C}$.
 
Donner la définition de la convergence uniforme sur $X$ de la suite de fonctions $\left(g_n\right)$ vers la fonction $g$.
  \item   
On pose $f_{n}(x) =\dfrac{n+2}{n+1}\mathrm{e}^{-n x^{2}}\cos \left( \sqrt{n}x\right) $.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la convergence simple de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $.
\item     La suite de fonctions  $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $\left[ 0,+\infty\right[$ ?

\item Soit $a>0$. La suite de fonctions $\left(f_{n}\right) $ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur  $[a,+\infty[$ ?	

\item La suite de fonctions  $\left(f_{n}\right)$ converge-t-elle uniform\'{e}ment sur $]0,+\infty[$? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak

\item \textbf{CCINP 11} : \begin{enumerate}
\item Soit $X$ une partie de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n}\right) $ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction $f$.

On suppose qu'il existe une suite $\left( x_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ d'\'{e}l\'{e}ments de $X$ telle que la suite $\left( f_{n}(x_{n})-f\left( x_{n}\right) \right) _{n\in \mathbb{N}}$ ne tende pas vers $0$. 

D\'{e}montrer que la suite de fonctions $\left( f_{n}\right)$ ne converge pas uniform\'{e}ment vers $f$ sur $X$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose $f_{n}(x) =\dfrac{\sin \left( nx\right) }{1+n^{2}x^{2}}$. 
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier la convergence simple de la suite $\left( f_{n}\right)$. 
	\item \'Etudier la convergence uniforme de la suite $\left( f_{n}\right)$ sur $[a,+\infty[$ (avec $a>0$),  puis sur $]0,+\infty[$.
	 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 12} : \begin{enumerate}
\item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

On suppose que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$, et que, pour tout  $n\in\mathbb{N}$, $f_n$ est continue en $x_0$, avec $x_0\in[a,b]$.

Démontrer que $f$ est continue en $x_0$. 

\item On pose : $\forall\:n\in\mathbb{N}^*$, $\forall\:x\in[0;1]$, $g_n(x)=x^n$.\\
 La suite de fonctions $(g_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge-t-elle uniformément sur $[0;1]$? 
\end{enumerate}
\item \textbf{CCINP 13} : \begin{enumerate}
\item Soit $(g_n)$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$, $X$ désignant un ensemble non vide quelconque.

 On suppose que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $g_n$ est bornée et que la suite $(g_n)$ converge uniformément sur $X$ vers $g$.

Démontrer que la fonction  $g$ est bornée. 
\item
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[f_n(x)=\left\lbrace \begin{array}{lll}
n^3x&\:\text{si}\:&|x|\leqslant \frac{1}{n}\\
\dfrac{1}{x}&\:\text{si}\:&|x|>\frac{1}{n}
\end{array}\right.  \]

Prouver que la suite de fonctions $(f_n)$  converge simplement sur $\mathbb{R}$.

La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 
