\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{3}{27 septembre au 1\up{er} octobre}

\section{Espaces vectoriels, applications linéaires}

Révisions complètes du cours d'algèbre linéaire de MPSI concernant les espaces vectoriels et les applications linéaires (voir programme page suivante).


\section{Structures algébriques}
\begin{programme}
%\tb{L'étude des structures algébriques permet d'approfondir plusieurs
%points abordés en première année : arithmétique de $\:\Z$ et de $\K[X]$, congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l'algèbre linéaire
%et de la géométrie des espaces euclidiens. Ce chapitre gagne à être illustré par de nombreux exemples.}
%
%
%\tb{Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l'étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique, mettant l'accent sur la notion d'idéal.}
%
%\tb{Sans soulever de difficulté, on signalera  que les notions d'algèbre linéaire étudiées en MPSI s'étendent au cas où le corps de base est un sous-corps de $\:\C$.}

\begin{cadre}

\souscadre{a) Groupes et sous-groupes}

Groupe. Produit fini de groupes.&Exemples issus de l'algèbre et de la géométrie.\\

Sous-groupe. Caractérisation.&\\

Intersection de sous-groupes.&\\

%Sous-groupe engendré par une partie.&\\

Sous-groupes du groupe $(\Z,+)$.&\\

\souscadre{b) Morphismes de groupes}

Morphisme de groupes.& Exemples : signature, déterminant.\\

Image et image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme.
Image et noyau d'un morphisme. Condition d'injectivité d'un morphisme.&
Exemple : groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien.\\

Isomorphisme de groupes. Réciproque d'un isomorphisme.&\\

%\souscadre{c) Groupes monogènes et cycliques}
%
%Groupe $(\Z/n\Z,+)$. Générateurs de $\Z/n\Z$.&\\
%
%Groupe monogène, groupe cyclique.&Groupe des racines $n$-ièmes de l'unité.\\
%
%Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\Z,+)$.
%Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe
%à $(\Z/n\Z,+)$.&\\
%
%\souscadre{d) Ordre d'un élément dans un groupe}
%
%Élément d'ordre fini d'un groupe, ordre d'un tel élément.&
%Si $x$ est d'ordre fini,
%l'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par
%$x$.\\
%
%Si $x$ est d'ordre fini $d$ et si $e$ désigne le neutre de $G$, alors, pour $n$ dans $\Z$, on a $x^n=e\Longleftrightarrow d|n$.&\\
%
%L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise le cardinal du groupe.&La démonstration n'est exigible que pour $G$ commutatif.\\
\souscadre{e) Anneaux}

Anneau. Produit fini d'anneaux.&Les anneaux sont unitaires.\\

Sous-anneaux. Morphisme d'anneaux. Image et noyau d'un morphisme. Isomorphisme d'anneaux.&\\


Anneau intègre. Corps. Sous-corps.&Les corps sont commutatifs.\\

\souscadre{f) Idéaux d'un anneau commutatif}

Idéal d'un anneau commutatif. Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal.&\\

Relation de divisibilité dans un anneau commutatif intègre.&Interprétation de la divisibilité en termes d'idéaux.\\

Idéaux de $\Z$.&\\
\souscadre{i) Algèbres}

Algèbre. &Les algèbres sont unitaires.


Exemples : $\K[X]$, ${\cal L}(E)$, ${\cal M}_n(\K)$,
${\cal F}(X,\K)$.\\

Sous-algèbre.&\\

Morphisme d'algèbres.&\\
\end{cadre}


Les notions d'ordre d'un élément dans un groupe, de groupe engendré par une partie, de groupe monogène ou cyclique, l'arithmétique sur $\Z$ et sur $\K[X]$ seront vues plus tard.

%\emph{Semaine prochaine :} Structures algébriques (suite), révisions d'algèbre linéaire.
\pagebreak

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Intersection quelconque de sous-groupes. Cas de la réunion de deux sous-groupes.
\item Caractérisation de l'injectivité d'un morphisme de groupes à l'aide du noyau. Réciproque d'un isomorphisme.
\item Sous-groupes de $(\Z, +)$, $(\Z, +, \times)$ est un anneau principal.
\item Images directe et réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupe. Tout corps est intègre.
\item Formule du binôme par dénombrement et par récurrence.
\item $(\K[X], +, \times)$ est un anneau principal (et en particulier intègre).
\item Image directe ou réciproque d'un sous-anneau ou d'un idéal par un morphisme d'anneaux.
\item Théorème du rang ($u$ induit un isomorphisme de tout supplémentaire du noyau sur l'image + formule)
\item \textbf{CCINP 55} :
Soit $a$ un nombre complexe.
On note $E$ l'ensemble des suites à valeurs complexes telles que : \[\forall\:n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=2au_{n+1}+4(\mathrm{i}a-1)u_n\text{ avec }(u_0,u_1)\in  \mathbb{C} ^2.\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites à valeurs complexes.
\item

Déterminer, en le justifiant, la dimension de $E$. 
\end{enumerate}
\item
Dans cette question, on considère la suite de $E$ définie par:
$u_0=1$ et $u_1=1$.
 Exprimer, pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe  $u_n$ en fonction de $n$.

\textbf{ Indication}: discuter suivant les valeurs de $a$. 
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 64} : Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que: $E=\text{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f \Longrightarrow \text{Im} f = \text{Im} f^2$.\:\:\:\:

\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer que $\text{Im} f = \text{Im} f^2 \Longleftrightarrow \mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} f^2.$
	\item Démontrer que $\text{Im} f = \text{Im} f^2 \Longrightarrow E=\text{Im} f \oplus \mathrm{Ker} f.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 60} :
Soit la matrice $A=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
2 & 4%
\end{array}%
\right) \ \ $et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}%
\right) $ d\'{e}fini par  $f\left( M\right) =AM.$

\begin{enumerate}

%\marginpar{3pt}
\item D\'{e}terminer une base de  $\mathrm{Ker}f$. 

%\marginpar{2pt}
\item $f$ est-il surjectif ? 

%\marginpar{3pt}
\item Déterminer une base de $ \text{Im}f.$
\item
A-t-on $\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}%
\right)=\mathrm{Ker}f\oplus \mathrm{Im}f$?
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 93} :   Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n>0$ et $u\in{\mathcal{ L}(E)}$ tel que
   $u^3+u^2+u=0.$\\
   On notera $\mathrm{Id}$ l'application identité sur $E$.
   \begin{enumerate}
   \item Montrer que $\mathrm{Im }u \oplus \mathrm{Ker} u = E.$
   \item (5/2)
   \begin{enumerate}
   \item \'Enoncer le lemme des noyaux pour deux polynômes.
   \item En déduire que $\mathrm{Im }u =\mathrm{Ker} (u^2+u+\mathrm{Id})$.
   \end{enumerate}
  \item (5/2)
  On suppose que $u$ est non bijectif. Déterminer les valeurs propres de $u$. Justifier la réponse.
   
   \end{enumerate}

  \textbf{ Remarque}: les questions 1. , 2. et 3. peuvent être traitées  indépendamment les unes des autres.
\end{enumerate}
\pagebreak

\section{Programme de MPSI}

\subsection{Structures algébriques}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Lois de composition internes}
Loi de composition interne. &\\
Associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité, distributivité. & Inversibilité et inverse du produit de deux éléments inversibles.\\
Partie stable. &\\



\souscadre{b) Structure de groupe}
Groupe. & Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif.

  Exemples usuels : groupes additifs $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$, groupes multiplicatifs $\Q^*$, $\Q_+^*$, $\R^*$, $\R_+^*$, $\C^*$, $\U$, $\U_n$.\\
Groupe des permutations d'un ensemble. & Notation $S_X$.\\
Sous-groupe : définition, caractérisation. &\\



\souscadre{c) Structures d'anneau et de corps}
Anneau, corps. & Tout anneau est unitaire, tout corps est commutatif.

  Exemples usuels : $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$.\\
Calcul dans un anneau. & Relation $a^n-b^n$ et formule du binôme si $a$ et $b$ commutent.\\
Groupe des inversibles d'un anneau. &\\
\end{cadre}

\subsection{Espaces vectoriels}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Espaces vectoriels}
Structure de $\K$ espace vectoriel. & Espaces $\K^n$, $\K [X]$.\\
Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels. &\\
Espace vectoriel des fonctions d'un ensemble dans un espace vectoriel. & Espace $\K^\N$ des suites d'éléments de $\K$.\\
Famille presque nulle (ou à support fini) de scalaires, combinaison linéaire d'une famille de vecteurs. & On commence par la notion de combinaison linéaire d'une famille finie de vecteurs.\\

\souscadre{b) Sous-espaces vectoriels}
Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation. & Sous-espace nul. Droites vectorielles de $\R^2$, droites et plans vectoriels de $\R^3$. Sous-espaces $\K_n [X]$ de $\K [X]$.\\
Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels. &\\
Sous-espace vectoriel engendré par une partie $X$. & Notations $\Vect (X)$, $\Vect (x_i)_{ i \in I}$.

Tout sous-espace contenant $X$ contient $\Vect (X)$.\\

\souscadre{c) Familles de vecteurs}
Familles et parties génératrices. &\\
Familles et parties libres, liées. &\\
Base, coordonnées. & Bases canoniques de $\K^n$, $\K_n [X]$, $\K [X]$.\\

\souscadre{d) Somme d'un nombre fini de sous-espaces}
Somme de deux sous-espaces. &\\
Somme directe de deux sous-espaces. Caractérisation par l'intersection. & La somme $F+G$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$ est unique.\\
Sous-espaces supplémentaires.&\\
Somme d'un nombre fini de sous-espaces. &\\

Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces. Caractérisation par l'unicité de la décomposition du vecteur nul. & La somme $F_1 + \cdots + F_p$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F_1~+~\cdots~+~F_p$ sous la forme $x_1 + \cdots + x_p$ avec $x_i \in F_i$ est unique.\\
\end{cadre}

\subsection{Espaces de dimension finie}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Existence de bases}
Un espace vectoriel est dit de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie. &\\
&\\
Si $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ engendre $E$ et si $(x_i)_{i \in I}$ est libre pour une certaine partie $I$ de $\big\{ 1 , \ldots , n \big\}$, alors il existe une partie $J$ de $\big\{ 1 , \ldots , n \big\}$ contenant $I$ pour laquelle $(x_j)_{j \in J}$ est une base de $E$. & Existence de bases en dimension finie.

  Théorème de la base extraite : de toute famille génératrice on peut extraire une base.

  Théorème de la base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base.\\

\souscadre{b) Dimension d'un espace de dimension finie}
Dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée. &\\
Dimension d'un espace de dimension finie. & Dimensions de $\K^n$, de $\K_n [X]$, de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1, de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants, de l'espace des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants.\\
En dimension $n$, une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si elle est libre, si et seulement si elle est génératrice. &\\
Dimension d'un produit fini d'espaces vectoriels de dimension finie. &\\
Rang d'une famille finie de vecteurs. & Notation $\rg (x_1 , \ldots , x_n)$.\\

\souscadre{c) Sous-espaces et dimension}
Dimension d'un sous-espace d'un espace de dimension finie, cas d'égalité. & Sous-espaces de $\R^2$ et $\R^3$.\\
Tout sous-espace d'un espace de dimension finie possède un supplémentaire. & Dimension commune des supplémentaires.\\
Base adaptée à un sous-espace, à une décomposition en somme directe d'un nombre fini de sous-espaces. &\\
Dimension d'une somme de deux sous-espaces ; formule de Grassmann. Caractérisation des couples de sous-espaces supplémentaires. &\\
Si $F_1, \ldots, F_p$ sont des sous-espaces de dimension finie, alors : $\displaystyle \quad \dim \sum_{i=1}^p F_i \leqslant \sum_{i=1}^p \dim F_i$, \ \ avec égalité si et seulement si la somme est directe. &\\
\end{cadre}

\subsection{Applications linéaires}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Généralités}
Application linéaire. &\\
Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition, réciproque. Isomorphismes. & L'ensemble $\mathcal{L} (E , F)$ est un espace vectoriel.

  Bilinéarité de la composition.\\
Image et image réciproque d'un sous-espace par une application linéaire.
Image d'une application linéaire. & \\
Noyau d'une application linéaire. Caractérisation de l'injectivité. &\\
Si $(x_i)_{i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ et si $u \in \mathcal{L} (E , F)$, alors $\Im u = \Vect \left( u (x_i) , i \in I \right)$. &\\
Image d'une base par un isomorphisme. &\\
Application linéaire de rang fini, rang. Invariance par composition par un isomorphisme. & Notation $\rg (u)$.\\

\souscadre{b) Endomorphismes}
Identité, homothéties.&Notation $\id_E$.\\
Anneau ($\mathcal{L} (E),+,\circ)$. & Non commutativité si $\dim E \geqslant 2$.

Notation $vu$ pour la composée $v \circ u$.\\

Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation des endomorphismes vérifiant $p^2 = p$ et $s^2 = \id$. &\\
Automorphismes. Groupe linéaire. & Notation $\mbox{GL} (E)$.\\

\souscadre{c) Détermination d'une application linéaire}
Si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une et une seule application $u \in \mathcal{L} (E , F)$ telle que pour tout $i \in I$ : $\quad u (e_i) = f_i$. & Caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de $u$.\\
Classification, à isomorphisme près, des espaces de dimension finie par leur dimension. &\\
Une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. &\\
Un endomorphisme d'un espace de dimension finie est inversible à gauche si et seulement s'il est inversible à droite. &\\
Dimension de $\mathcal{L} (E , F)$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie. &\\
Si $E_1, \ldots, E_p$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $\displaystyle E = \bigoplus_{i=1}^p E_i$ et si $u_i \in \mathcal{L} (E_i , F)$ pour tout $i$, alors il existe une et une seule application $u \in \mathcal{L} (E , F)$ telle que $u_{|E_i} = u_i$ pour tout $i$. &\\

\souscadre{d) Théorème du rang}
Si $u \in \mathcal{L} (E , F)$ et si $S$ est un supplémentaire de $\ker u$ dans $E$, alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\Im u$. &\\
Théorème du rang : $\quad \dim E = \dim \ker  u + \rg (u)$. &\\

\souscadre{e) Formes linéaires et hyperplans}
Forme linéaire. & Formes coordonnées relativement à une base.\\
Hyperplan. & Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

  \'Equations d'un hyperplan dans une base en dimension finie.\\
Si $H$ est un hyperplan de $E$, alors pour toute droite $D$ non contenue dans $H$ : $\quad E = H \oplus D$. \ \ Réciproquement, tout supplémentaire d'une droite est un hyperplan. & En dimension $n$, les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension $n-1$.\\
Comparaison de deux équations d'un même hyperplan. &\\
Si $E$ est un espace de dimension finie $n$, l'intersection de $m$ hyperplans est de dimension au moins $n-m$. Réciproquement, tout sous-espace de $E$ de dimension $n-m$ est l'intersection de $m$ hyperplans. & Droites vectorielles de $\R^2$, droites et plans vectoriels de $\R^3$.

  L'étude de la dualité est hors programme.\\
\end{cadre}
\end{programme}

\end{document} 
