\documentclass[11pt, 2pages]{td}

\begin{document}

\colle{2}{20 au 23 septembre}

\section{Series numériques}

\begin{programme}
\begin{cadre}
\souscadre{a) Séries \xout{à valeurs dans un espace normé de dimension finie}}

Sommes partielles. Convergence, divergence.  &La série de terme général $u_n$ est notée $\sum u_n$.\\
Somme et restes d'une série convergente.&En cas de convergence, notation $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$.
\\
Linéarité de la somme.&\\
Le terme général d'une série convergente tend vers 0.& Divergence grossière. \\

Lien suite-série. & La suite $(u_n)$ et la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ ont même nature.\\

Série absolument convergente.&\xout{Cas des séries matricielles.}\\
Une série absolument convergente \xout{d'éléments d'un espace vectoriel normé de dimension finie} est convergente.&Le critère de Cauchy est hors programme.\\


\souscadre{b) Compléments sur les séries numériques}

Règle de d'Alembert.&Introduite principalement en vue de l'étude des séries entières.\\

Critère des séries alternées.
Signe et encadrement des restes.
&L'étude des séries semi-convergentes n'est pas un objectif du programme. La transformation d'Abel est hors programme. L'étude de la sommation par tranches dans le cas semi-convergent est hors programme.
\\


Comparaison série-intégrale :

Si $f$ est une fonction continue par morceaux et décroissante de $\R^+$
dans $\R^+$, alors la série de terme général $\displaystyle\int_{n-1}^n f(t)\d t-f(n)$ converge.&

Les étudiants doivent savoir utiliser la comparaison série-intégrale pour estimer des sommes partielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dans le cas où $f$ est monotone.

Interprétation géométrique.\\

Sommation des relations de comparaison :
domination, négligeabilité, équivalence.&
La suite de référence est positive à partir d'un certain rang.

Cas des séries convergentes, des séries divergentes.\\
\end{cadre}

\end{programme}

\section{Structure de groupe}

Extrait du programme officiel :
\bigskip

%\begin{programme}
%\tb{L'étude des structures algébriques permet d'approfondir plusieurs
%points abordés en première année : arithmétique de $\:\Z$ et de $\K[X]$, congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l'algèbre linéaire
%et de la géométrie des espaces euclidiens. Ce chapitre gagne à être illustré par de nombreux exemples.}
%
%
%\tb{Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l'étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique, mettant l'accent sur la notion d'idéal.}
%
%\tb{Sans soulever de difficulté, on signalera  que les notions d'algèbre linéaire étudiées en MPSI s'étendent au cas où le corps de base est un sous-corps de $\:\C$.}

\begin{cadre}

\souscadre{a) Groupes et sous-groupes}

Groupe. Produit fini de groupes.&Exemples issus de l'algèbre et de la géométrie.\\

Sous-groupe. Caractérisation.&\\

Intersection de sous-groupes.&\\

%Sous-groupe engendré par une partie.&\\

Sous-groupes du groupe $(\Z,+)$.&\\

\souscadre{b) Morphismes de groupes}

Morphisme de groupes.& Exemples : signature, déterminant.\\

Image et image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme.
Image et noyau d'un morphisme. Condition d'injectivité d'un morphisme.&
Exemple : groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien.\\

Isomorphisme de groupes. Réciproque d'un isomorphisme.&\\

%\souscadre{c) Groupes monogènes et cycliques}
%
%Groupe $(\Z/n\Z,+)$. Générateurs de $\Z/n\Z$.&\\
%
%Groupe monogène, groupe cyclique.&Groupe des racines $n$-ièmes de l'unité.\\
%
%Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\Z,+)$.
%Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe
%à $(\Z/n\Z,+)$.&\\
%
%\souscadre{d) Ordre d'un élément dans un groupe}
%
%Élément d'ordre fini d'un groupe, ordre d'un tel élément.&
%Si $x$ est d'ordre fini,
%l'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par
%$x$.\\
%
%Si $x$ est d'ordre fini $d$ et si $e$ désigne le neutre de $G$, alors, pour $n$ dans $\Z$, on a $x^n=e\Longleftrightarrow d|n$.&\\
%
%L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise le cardinal du groupe.&La démonstration n'est exigible que pour $G$ commutatif.\\
\end{cadre}


Les notions d'ordre d'un élément dans un groupe, de groupe engendré par une partie, de groupe monogène ou cyclique seront vues plus tard.

\emph{Semaine prochaine :} Structures algébriques (suite), révisions d'algèbre linéaire.

\questionDeCours
\bigskip

\begin{enumerate}[label=\indent\indent(\roman*)]
\item Comparaison série-intégrale pour une fonction continue par morceaux décroissante. Si, de plus, la fonction est positive, la série de terme général $\dint{n-1}{n}{f(t)}t-f(n)$ converge.
\item Séries de Riemann. Convergence absolue $\Longrightarrow$ convergence.
\item Détermination d'un développement asymptotique de la série harmonique : $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ par deux méthodes différentes.
\item Étude générale des séries de Bertrand. Voir aussi CCINP 5.
\item Formule de Stirling : il existe $K>0$ tel que $n!\sim K\sqrt{n}\pare{\dfrac n\e}^n$, détermination de $K$ à partir de l'expression et d'un équivalent des intégrales de Wallis.
\item Sommation des relations de comparaison dans le cas de divergence.
\item Sommation des relations de comparaison dans le cas de convergence.
\item Intersection quelconque de sous-groupes. Cas de la réunion de deux sous-groupes.
\item Sous-groupes de $(\Z, +)$
\item Caractérisation de l'injectivité d'un morphisme de groupes à l'aide du noyau.
\item \textbf{CCINP 5} :
\begin{enumerate}

\item
On considère la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}=\dfrac{1}{n\left( \ln n\right) ^{\alpha }}$ o\`{u} $n\geqslant 2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$.\medskip


\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas ${\alpha \leqslant 0}$} : En utilisant une minoration tr\`{e}s simple de $u_{n}$, démontrer que la série diverge.

\item \textbf{Cas ${\alpha >0}$} : \'Etudier la nature de la série.\\ 
\textbf{Indication}: On pourra utiliser la fonction $f$ d\'{e}finie par $f(x) =\dfrac{1}{x(\ln x) ^{\alpha }}$.
\end{enumerate}
\item
Déterminer la nature de la série $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant3}^{}\dfrac{\left( \mathrm{e}-\left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^n \right)\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}}{\left( \ln(n^2+n)\right) ^2}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 6} : Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ une suite de r\'{e}els strictement positifs et $\ell$ un r\'{e}el positif strictement inf\'{e}rieur \`{a} 1.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\ell$, alors la s\'{e}rie $\displaystyle\sum u_{n}$ converge.
 
\textbf{Indication}: écrire, judicieusement, la définition de $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\ell$,  puis majorer, pour $n$ assez grand, $u_{n}$ par le terme g\'{e}n\'{e}ral d'une suite g\'{e}om\'{e}trique.
\item Quelle est la nature de la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}{} \dfrac{n!}{n^{n}}$?
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 7} :
\begin{enumerate}
\item Soient $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $ et $\left(v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $deux suites de nombres r\'{e}els positifs.\\
On suppose que $\left( v_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est non nulle à partir d'un certain rang.\\
Montrer que:
\begin{equation*}
u_{n}\underset{+\infty}{\thicksim} v_{n} \  \Longrightarrow  \ \displaystyle\sum u_{n}\ \text{et }\displaystyle\sum v_{n}\ \text{sont de m\^{e}me nature}.
\end{equation*}

\item Étudier la convergence de la s\'{e}rie $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 2}^{} \dfrac{\left((-1)^n+\i\right) \ln n \sin \left( \dfrac{1}{n}\right) }{\left(\sqrt{n+3}-1\right)}$.

\textbf{Remarque} : $\i$ est ici le nombre complexe de carr\'{e} \'{e}gal \`{a} $-1$
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 8} :
Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ $une suite d\'{e}croissante positive de limite nulle.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$ est convergente.

\textbf{Indication}: on pourra consid\'{e}rer $\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ et $\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ avec $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\item Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}

\item \'Etudier la convergence \sout{simple sur} pour $x\in\mathbb{R}$ fixé de la série \sout{de fonctions} $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{} \dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.

%\emph{C'est-à-dire, pour un $x\in\R$ fixé, la convergence de $\displaystyle\sum_{n\geqslant1}^{} \dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.}
\item (5/2) \'Etudier la convergence uniforme sur $\left[ 0,+\infty\right[ $  de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant1}^{} \dfrac{\left(-1\right)^{n}e^{-nx}}{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{CCINP 46} : On considère la série:$\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $. 
\begin{enumerate}
\item
Prouver que, au voisinage de $+\infty$, $\pi\sqrt{n^2+n+1}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}+\alpha\dfrac{\pi}{n}+O\left(\dfrac{1}{n^2} \right)$ où $\alpha$ est un réel que l'on déterminera.
\item
En déduire que $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $ converge.
\item
 $\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{}\cos \left( \pi \sqrt{n^2+n+1}\right) $ converge-t-elle absolument?

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Programme de MPSI}

\subsection*{Structures algébriques}

\begin{cadre}
\souscadre{a) Lois de composition internes}
Loi de composition interne. &\\
Associativité, commutativité, élément neutre, inversibilité, distributivité. & Inversibilité et inverse du produit de deux éléments inversibles.\\
Partie stable. &\\



\souscadre{b) Structure de groupe}
Groupe. & Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif.

  Exemples usuels : groupes additifs $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$, groupes multiplicatifs $\Q^*$, $\Q_+^*$, $\R^*$, $\R_+^*$, $\C^*$, $\U$, $\U_n$.\\
Groupe des permutations d'un ensemble. & Notation $S_X$.\\
Sous-groupe : définition, caractérisation. &\\
\end{cadre}

\end{document} 
